Диагональ разбивает трапецию на два равнобедренных треугольника

 

Рассмотрим еще одну геометрическую задачу из сборника «ЕГЭ 2022. Математика. Профильный уровень. 50 вариантов. Типовые варианты экзаменационных заданий от разработчиков ЕГЭ. Под редакцией И.В. Ященко. – М. Издательство «Экзамен», 2022. 231 стр.

16 задания.

Вариант 3.

В трапеции АВСD основания AD и ВС. Диагональ АС разбивает ее на два равнобедренных треугольника с основаниями AD и АВ.

а) Докажите, что луч DВ – биссектриса угла ADС.

б) Найдите АВ, если известны длины диагоналей трапеции: ВD = 8 и АС = 5.

Решение.

а) По условию в треугольнике АВС ВС=АС, в треугольнике АСD АС=СD. Значит ВС=СD. Отсюда следует, что угол СВD равен углу СDВ. Далее заметим, что угол СВD равен углу АDВ как накрест лежащие при параллельных прямых ВС и АD и секущей ВD. Следовательно, углы СDВ и АDВ равны.

б) Первый способ. Алгебраический.

Так как ВС= СD=АС=5. В треугольнике СВD известны все стороны и можно найти его площадь по формуле Герона. Полупериметр треугольника СВD равен (5+5+8)/2 = 9. Значит площадь треугольника СВD равна корню квадратному из произведения чисел 9*1*4*4. Площадь треугольника СВD равна 12.

С другой стороны площадь треугольника СВD равна 0,5* СD* ВD*sin СDВ, то есть

0,5* СD* ВD*sin СDВ = 12, подставляя длины сторон, получаем

0,5*5*8* sin СDВ = 12, отсюда sin СDВ = 0,6. Используя основное тригонометрическое тождество, находим cos СDВ = 0,8.

По формуле косинуса двойного угла находим, что cos СDА = 0,28. Далее мы знаем, что угол СDА равен углу САD, а угол САD равен углу ВСА (накрест лежащие при параллельных АD и ВС и секущей АС). Значит cos ВСА = 0,28. Теперь мы можем применить теорему косинусов для нахождения стороны АВ. Квадрат стороны АВ равен 5*5+5*5-2*5*5* 0,28 = 36. Значит АВ = 6.

 

б) Второй способ. Геометрический.

Проведем через вершину В прямую, параллельную диагонали АС, точку пересечения этой прямой с продолжением стороны АD обозначим буквой К. В результате мы получили параллелограмм КВСА. Так как ВС=АС=5, то КВСА – ромб. Диагональ АС ромба КВСА делит угол ВСА на два равных, а так как угол ВСА равен углу САВ и равен углу СDА, то угол ВСК равен углу СDВ. Легко заметить, что треугольники КВС и ВСD равны (у них углы ВСК, ВКС, СDА, САD равны, а значит равны и углы КВС и ВСD, стороны КВ, ВС и СD тоже равны) по первому признаку равенства треугольников. Значит СК= ВD=8.

Так как диагонали ромба перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, то КО=ОС=4, ВО=ОА. В прямоугольном треугольнике ОВС гипотенуза ВС=5, катет ОС=4, по теореме Пифагора находим, что ВО=3. Значит АВ=6.

Второй способ проще, но надо увидеть дополнительное построение.

Задание для самостоятельного решения.

Вариант 4.

В трапеции АВСD основания AD и ВС. Диагональ АС разбивает ее на два равнобедренных треугольника с основаниями AD и АВ.

А) Докажите, что луч DВ – биссектриса угла ADС.

Б) Найдите АВ, если известны длины диагоналей трапеции: ВD = 12 и АС = 7,5.

 

Для решения задачи первым способом необходимо помнить:

Теорема косинусов звучит так: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Формула теоремы косинусов:

a² = b² + c² - 2bc cos α