На продолжении стороны АС

 
Рассмотрим геометрическую задачу из сборника «ЕГЭ 2022. Математика. Профильный уровень. 50 вариантов. Типовые варианты экзаменационных заданий от разработчиков ЕГЭ. Под редакцией И.В. Ященко. – М. Издательство «Экзамен», 2022. 231 стр.

16 задания

Вариант 1.

На продолжении стороны АС за вершину А треугольника АВС отложили отрезок AD, равный стороне АВ. Прямая, проходящая через точку А параллельно ВD, пересекает сторону ВС в точке М.

а) докажите, что АМ – биссектриса угла ВАС.

б) Найдите площадь трапеции AМВD, если площадь треугольника АВС равна 180 и известно отношение АС:АВ = 3:2.

Решение.

а) АD = АВ по условию, значит в треугольнике АВD угол D равен углу АВD. Но угол D также равен углу САМ, как односторонние при параллельных ВD и АМ и секущей АС. Угол АВD равен углу ВАМ, как накрест лежащие при параллельных ВD и АМ и секущей АВ. Следовательно, угол ВАМ равен углу САМ.

б) Рассмотрим треугольники ВАМ и САМ. Их площади соответственно равны 0,5*АВ*АМ*sinВАМ и 0,5*АС*АМ*sinСАМ . Значит отношение площадей этих треугольников равно 0,5*АВ*АМ*sinВАМ : 0,5*АС*АМ*sinСАМ = АВ : АС = 2 : 3. Значит, если площадь треугольника ВАМ разделить на две равные части, то площадь треугольника САМ состоит из трех таких частей. Соответственно, площадь треугольника АВС состоит из 5 таких частей. Отсюда, площадь треугольника САМ равна 180 : 5 * 3 = 108.

Далее заметим, что треугольники САМ и СВD подобны по первому признаку ( угол С – общий, угол D равен углу САМ).

Имеем АС : СD = 3:5, значит отношение площадей треугольников САМ и СВD равно 9:25. Отсюда площадь треугольника СВD равна 108:9*25 = 300.

Площадь трапеции АМВD равна 300 – 108 = 192.

Ответ 192.

Задача для самостоятельного решения.

Вариант 2.

На продолжении стороны АС за вершину А треугольника АВС отложили отрезок AD, равный стороне АВ. Прямая, проходящая через точку А параллельно ВD, пересекает сторону ВС в точке М.

А) докажите, что АМ – биссектриса угла ВАС.

Б) Найдите площадь трапеции AМВD, если площадь треугольника АВС равна 144 и известно отношение АС:АВ = 3:1.