Страницы блога

среда, 16 февраля 2022 г.

На продолжении стороны АС

 
Рассмотрим геометрическую задачу из сборника «ЕГЭ 2022. Математика. Профильный уровень. 50 вариантов. Типовые варианты экзаменационных заданий от разработчиков ЕГЭ. Под редакцией И.В. Ященко. – М. Издательство «Экзамен», 2022. 231 стр.

16 задания

Вариант 1.

На продолжении стороны АС за вершину А треугольника АВС отложили отрезок AD, равный стороне АВ. Прямая, проходящая через точку А параллельно ВD, пересекает сторону ВС в точке М.

а) докажите, что АМ – биссектриса угла ВАС.

б) Найдите площадь трапеции AМВD, если площадь треугольника АВС равна 180 и известно отношение АС:АВ = 3:2.

Решение.

а) АD = АВ по условию, значит в треугольнике АВD угол D равен углу АВD. Но угол D также равен углу САМ, как односторонние при параллельных ВD и АМ и секущей АС. Угол АВD равен углу ВАМ, как накрест лежащие при параллельных ВD и АМ и секущей АВ. Следовательно, угол ВАМ равен углу САМ.

б) Рассмотрим треугольники ВАМ и САМ. Их площади соответственно равны 0,5*АВ*АМ*sinВАМ и 0,5*АС*АМ*sinСАМ . Значит отношение площадей этих треугольников равно 0,5*АВ*АМ*sinВАМ : 0,5*АС*АМ*sinСАМ = АВ : АС = 2 : 3. Значит, если площадь треугольника ВАМ разделить на две равные части, то площадь треугольника САМ состоит из трех таких частей. Соответственно, площадь треугольника АВС состоит из 5 таких частей. Отсюда, площадь треугольника САМ равна 180 : 5 * 3 = 108.

Далее заметим, что треугольники САМ и СВD подобны по первому признаку ( угол С – общий, угол D равен углу САМ).

Имеем АС : СD = 3:5, значит отношение площадей треугольников САМ и СВD равно 9:25. Отсюда площадь треугольника СВD равна 108:9*25 = 300.

Площадь трапеции АМВD равна 300 – 108 = 192.

Ответ 192.

Задача для самостоятельного решения.

Вариант 2.

На продолжении стороны АС за вершину А треугольника АВС отложили отрезок AD, равный стороне АВ. Прямая, проходящая через точку А параллельно ВD, пересекает сторону ВС в точке М.

А) докажите, что АМ – биссектриса угла ВАС.

Б) Найдите площадь трапеции AМВD, если площадь треугольника АВС равна 144 и известно отношение АС:АВ = 3:1.

 

Комментариев нет:

Отправить комментарий