Отрезок, длина которого не изменяется

Рассмотрим еще одну задачу с двумя окружностями в треугольнике. Исследуем ситуацию, созданную в задаче 16 в 35 варианте учебно-методического пособия «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2020. Профильный уровень. 40 тренировочных вариантов по демоверсии 2020 года. Под редакцией Ф.Ф.Лысенко, С.Ю.Калабухова.

Задача 1. В треугольнике АВС точка D лежит на стороне ВС. В треугольники АВD и АСD вписаны окружности, и к ним проведена общая внешняя касательная (отличная от ВС), пересекающая АD в точке К.

а) Докажите, что длина отрезка АК не зависит от положения точки D на ВС.

б) Найдите длину отрезка АК, если периметр треугольника АВС равен 30, а ВС равна 10.

 Решение. Решение задачи не сложное, основано на свойстве касательных (отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны).

Выразим АК двумя способами.

АК = АТ – КТ,

АК = АF – КF. По свойству касательных КТ = КМ, КF = КN и АТ = АЕ, АF = АР.

Так длины отрезков двух общих внешних касательных к двум окружностям, заключенных между точками касания равны, то MN = HZ. Тогда

2*АК = АТ – КТ + АF – КF = АТ + АF – (КТ + КF) = АЕ + АР – MN = АС – ЕС + АВ – ВР – MN = АС + АВ – (ЕС + ВР + MN) = АС + АВ – (СН + ВZ + HZ) = АС + АВ – ВС. То есть АК = (АС + АВ – ВС)/2 и не зависит от положения точки D.

Время проведения ГИА изменится

Срок начала основного периода единого государственного экзамена (ЕГЭ) 2020 года будет перенесен на 8 июня, основного государственного экзамена (ОГЭ) для выпускников 9 классов – на 9 июня. Такие решения готовятся Министерством просвещения Российской Федерации и Федеральной службой по надзору в сфере образования и науки в связи со складывающейся эпидемиологической обстановкой и объявлением нерабочими дней с 30 марта по 3 апреля.
Основной период ЕГЭ 2020 года должен был пройти с 25 мая по 29 июня, сдавать экзамен планируют около 797 тысяч человек. Проведение основного периода ОГЭ 2020 года планировалось с 22 мая по 30 июня, на участие в экзаменах зарегистрировались более 1,4 миллиона девятиклассников.
В настоящее время готовятся проекты приказов Минпросвещения и Рособрнадзора о переносе сроков проведения ЕГЭ, ОГЭ и государственного выпускного экзамена (ГВЭ) в 2020 году. Проект нового расписания экзаменов будет в ближайшие дни направлен в региональные органы управления образованием вместе с разъяснениями по организации работы в связи с переносом сроков государственной итоговой аттестации.
Источник http://www.obrnadzor.gov.ru/ru/press_center/news/index.php?id_4=7298 

Работают формулы площади треугольника

Время карантина можно использовать для активной подготовки к ГИА. Для этого из дома выходить не надо. Берем сборники и решаем. В сети обсуждаем пути решения заданий, возникающие проблемы.

Исследуем ситуацию, созданную в задаче 16 в 34 варианте учебно-методического пособия «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2020. Профильный уровень. 40 тренировочных вариантов по демоверсии 2020 года. Под редакцией Ф.Ф.Лысенко, С.Ю.Калабухова.

Задача 1. Биссектриса большего угла треугольника со сторонами 21, 24 и 39 делит его на два треугольника, в каждый из них вписана окружность.

а) Докажите, что радиусы этих окружностей относятся как 35:36.

б) Найдите расстояние между точками касания этих окружностей с большей стороной исходного треугольника.

Решение. Изначально найдем длины отрезков АD и CD, на которые разбивает большую сторону АС биссектриса ВD.

(Используем свойство: биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону в отношении, равном отношению двух прилежащих сторон)

АD:CD = АВ:ВС = 21х:24х, отсюда 45х = 39, х = 13/15. Получаем

АD = 21*13/15 = 18,2 и CD = 24*13/15 = 20,8.