Рассмотрим
еще одну задачу с двумя окружностями в треугольнике. Исследуем ситуацию,
созданную в задаче 16 в 35 варианте учебно-методического пособия «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2020.
Профильный уровень. 40 тренировочных вариантов по демоверсии 2020 года. Под
редакцией Ф.Ф.Лысенко, С.Ю.Калабухова.
Задача 1. В треугольнике АВС
точка D лежит на стороне ВС. В треугольники АВD и АСD вписаны
окружности, и к ним проведена общая внешняя касательная (отличная от ВС),
пересекающая АD в точке К.
а)
Докажите, что длина отрезка АК не зависит от положения точки D на ВС.
б)
Найдите длину отрезка АК, если периметр треугольника АВС равен 30, а ВС равна
10.
Решение. Решение задачи
не сложное, основано на свойстве касательных (отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны).
Выразим
АК двумя способами.
АК
= АТ – КТ,
АК
= АF
– КF. По свойству
касательных КТ = КМ, КF = КN и АТ = АЕ, АF = АР.
Так
длины
отрезков двух общих внешних касательных к двум окружностям, заключенных между
точками касания равны, то MN = HZ. Тогда
2*АК
= АТ – КТ + АF –
КF
= АТ + АF
– (КТ + КF)
= АЕ + АР – MN = АС – ЕС + АВ –
ВР – MN = АС + АВ – (ЕС + ВР + MN) = АС + АВ – (СН + ВZ
+ HZ) = АС + АВ – ВС. То есть АК = (АС + АВ – ВС)/2 и не
зависит от положения точки D.
б)
Найдем длину отрезка АК, если периметр треугольника АВС равен 30, а ВС равна 10.
В этом случае АС + АВ = 30 – 10 = 20.
АК
= (АС + АВ – ВС)/2 = (20 – 10)/2. Отсюда АК = 5.
Для самостоятельного решения.
Задача 2. В треугольнике
АВС точка D лежит на стороне ВС. В треугольники АВD и АСD вписаны
окружности, и к ним проведена общая внешняя касательная (отличная от ВС),
пересекающая АD в точке К.
а)
Докажите, что длина отрезка АК не зависит от положения точки D на ВС.
б)
Найдите длину отрезка АК, если периметр треугольника АВС равен 20, а ВС равна 5.
Дополнительно
можно прочитать статью в журнале «Квант» «Две окружности в треугольнике, три
окружности в треугольнике…».
Комментариев нет:
Отправить комментарий