Время карантина можно использовать для активной подготовки к ГИА. Для этого из дома выходить не надо. Берем сборники и решаем. В сети обсуждаем пути решения заданий, возникающие проблемы.
Исследуем
ситуацию, созданную в задаче 16 в 34 варианте учебно-методического пособия «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2020.
Профильный уровень. 40 тренировочных вариантов по демоверсии 2020 года. Под
редакцией Ф.Ф.Лысенко, С.Ю.Калабухова.
Задача 1. Биссектриса
большего угла треугольника со сторонами 21, 24 и 39 делит его на два
треугольника, в каждый из них вписана окружность.
а)
Докажите, что радиусы этих окружностей относятся как 35:36.
б)
Найдите расстояние между точками касания этих окружностей с большей стороной
исходного треугольника.
Решение. Изначально
найдем длины отрезков АD и CD, на которые разбивает большую сторону АС
биссектриса ВD.
(Используем свойство: биссектриса угла
треугольника делит противоположную сторону в отношении, равном отношению двух
прилежащих сторон)
АD:CD = АВ:ВС = 21х:24х,
отсюда 45х = 39, х = 13/15. Получаем
АD = 21*13/15 = 18,2 и CD = 24*13/15 = 20,8.
Далее
воспользуемся формулой Герона для нахождения площади треугольника АВС. Найдем
полупериметр (21+24+39)/2 = 42. Площадь треугольника АВС равна корню
квадратному из произведения 42*21*18*3. SABC
= 126Ö3.
А
площадь треугольника АВD равна SABC*18,2/39 = 126Ö3*18,2/39 = 1,4*42Ö3.
Площадь
треугольника СВD равна SABC*20,8/39 = 126Ö3*20,8/39 = 1,6*42Ö3.
Далее вспомним, что площадь
треугольника равна половине
произведения двух сторон на синус
угла между ними. Найдем синус угла АВС.
sinАВС
= 2*SABC/(АВ*ВС) = 2*126Ö3/(21*24) = Ö3/2. Так как угол АВС –
наибольший, то он не может равняться 60 градусам, значит угол АВС равен 120
градусам. Соответственно углы АВD и СВD равны 60 градусам.
SАВD
= 1,4*42Ö3 = АВ* ВD* sin АВD/2,
отсюда ВD = 2*1,4*42Ö3/(21*0,5Ö3) = 11,2.
Теперь
будем использовать еще одну формулу для нахождения площади треугольника. Площадь треугольника
равна произведения полупериметра этого треугольника
на радиус вписанной в него окружности.
Найдем периметры треугольников АВD
и СВD.
РАВD = 21+11,2+18,2 = 50,4. РСВD = 24+11,2+20,8 = 56.
Найдем
радиус вписанной в треугольник АВD окружности r = 2* SАВD/ РАВD = 2*1,4*42Ö3/50,4 = 7Ö3/3.
Найдем
радиус вписанной в треугольник СВD окружности r1 = 2* SСВD/ РСВD = 2*1,6*42Ö3/56 = 2,4Ö3.
Отсюда
r/r1 = 7Ö3/(3*2,4Ö3) = 70/72 = 35/36. Пункт а доказан.
Найдем
расстояние КР между точками касания вписанных окружностей с большей стороной
исходного треугольника. Для этого используем свойства касательных (отрезки касательных, проведенных из одной
точки к окружности, равны).
АВ
= АМ + МВ = АК + ВН = 18,2 – КD + 11,2 – КD = 21.
2*КD = 8,4 или КD
= 4,2.
ВС
= ВЕ + ЕС = ВН + РС = 11,2 – FD + 20,8 – FD = 24.
2* FD = 8 или FD
= 4.
КР
= КD + РD = 4,2 + 4 =
8,2.
Ответ 8,2.
Для самостоятельного решения.
Задача 2. Биссектриса
большего угла треугольника со сторонами 24, 40 и 56 делит его на два
треугольника, в каждый из них вписана окружность.
а)
Докажите, что радиусы этих окружностей относятся как 9:10.
б)
Найдите расстояние между точками касания этих окружностей с большей стороной
исходного треугольника.
(Решение этой задачи приведено в указанном
выше учебно-методическом пособии и отличается от приведенного активным использованием
теоремы косинусов)
Комментариев нет:
Отправить комментарий