Задания 10 классу

1.                  Дана равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Окружность с центром O, построенная на боковой стороне AB как на диаметре, касается боковой стороны CD и второй раз пересекает большее основание AD в точке H, точка Q — середина CD.

а) Докажите, что четырёхугольник DQOH— параллелограмм.

б) Найдите AD, если ∠BAD=67,5° и BC=3.

2.                  Дана равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Окружность с центром O, построенная на боковой стороне AB как на диаметре, касается боковой стороны CD и второй раз пересекает большее основание AD в точке H, точка Q — середина CD.

а) Докажите, что четырёхугольник DQOH— параллелограмм.

б) Найдите AD, если ∠BAD=75° и BC=1.

Две окружности и касательная

Приведу свое решение задачи №16 из второго варианта сборника "Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень. (под редакцией Ф.Ф.Лысенко)
Задача. Две окружности касаются внутренним образом в точке А, при этом меньшая окружность проходит через центр большей. Хорда BC большей окружности касается меньшей в точке Т. Хорды AB и AC пересекают меньшую окружность в точках М и К соответственно.

а) Докажите, что прямые KM и BC параллельны.

б) ТА пересекает МК в точке N. Найдите AN, если радиус большей окружности равен 41, а BC = 80.

Решение.