Парабола проходит через точки

На муниципальном мониторинге по математике в 9 классе, который проходил в формате ОГЭ, 
в одном из вариантов под номером 23 была предложена следующая задача, с которой справилось мало учащихся.
Задача.Парабола проходит через точки K(0; 2), L(–5; –3), M(1; 9). Найдите координаты её вершины.
Решение. Общий вид уравнения параболы у=ах²+bх+с. Последовательно подставляем в это уравнение координаты точек.
При подстановке координат точки  K(0; 2) получаем:
2=а*0²+b*0+с или с=2.
При подстановке координат точки  L(–5; –3) получаем:
-3=а*(-5)²+b*(-5)+2 или 25а-5b=-5, 5a-b=-1, b=5a+1.

Сколько спиц в колесе?

 В контрольно-измерительных материалах для подготовки к ОГЭ часто встречаются в модуле

"Геометрия" простые задачи об углах между соседними спицами в колесах. При их решении важно помнить, что все углы между спицами равны, количество углов равно количеству спиц и в полной окружности 360 градусов.
Задача 1. Колесо имеет 15 спиц. Углы между соседними спицами равны. Найдите величину угла (в градусах), который образуют две соседние спицы.

Три общих точки

 Подробно разберем решение задачи 23 из 21 варианта сборника «ОГЭ 2018. Математика. 50 вариантов. Типовые тестовые задания от разработчиков ОГЭ».

Рис 1. 2 параболы

Задача. Постройте график функции у=x²–|4x+3| и определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно три общие точки.
Решение. Рассмотрим два случая.
Первый, когда выражение под знаком модуля не отрицательно, 
4x+3≥0, то есть 4x ≥-3 и x ≥-3/4. Тогда |4x+3|=4x+3 и функция принимает вид
 у = x²–|4x+3| = x²–4x-3. График функции - парабола.
Второй случай, когда выражение под знаком модуля отрицательно, 
4x+3<0, то есть 4x < -3 и x < -3/4.

Четырёхугольник вписан в окружность

Рассмотрим решение задачи повышенной сложности под номером 26 из 22 варианта сборника «ОГЭ 2018. Математика. 50 вариантов. Типовые тестовые задания от разработчиков ОГЭ».
 В решении используются свойства вписанного
четырёхугольника, теоремы синусов и косинусов, свойства параллельных прямых.

Задача. Четырёхугольник ABCD со сторонами AB=5 и CD=17 вписан в окружность. Диагонали AC и BD пересекаются в точке Р, причём ∠AРB=60 градусам. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.
Решение. Проведем прямую АК параллельно диагонали BD до пересечения с окружностью в точке К. Тогда АBDК - вписанная трапеция, значит она равнобедренная и DК=АВ=5. По свойству параллельных прямых накрестлежащие углы ВРА и РАК равны, значит угол РАК тоже равен 60 градусам.

Модуль "Геометрия" из 21 варианта

Вариант 21. 1 часть. Модуль "Геометрия"
15. Какой угол (в градусах) описывает минутная стрелка за 25 минут?
Решение. Минутная стрелка за один час, то есть за 60 минут делает полный оборот по циферблату, описывая угол в 360 градусов.  Тогда за одну минуту стрелкой описывается угол 360:60=6 градусов. За 25 минут минутная стрелка описывает угол 6*25=150 градусов.
Ответ 150.

Задача 26 из 26 варианта

Рассмотрим решение задачи 26 из 26 варианта из сборника «ОГЭ 2018. Математика. 50 вариантов. Типовые тестовые задания от разработчиков ОГЭ».

(подсказка для подготовки к зачету: решение задачи, подобной задаче 26 из 20 варианта рассмотрено в сообщении "Найдите основания трапеции", решение задачи, подобной задаче 26 из 21 варианта рассмотрено в сообщении "Когда биссектриса и медиана перпендикулярны")

В решении используются свойства вписанных углов, радиуса окружности, проведенного перпендикулярно хорде, свойства подобных треугольников.

Задача. В треугольнике ABC известны длины сторон AB=14, AC=98, точка O — центр окружности, описанной около треугольника ABC. Прямая BР, перпендикулярная прямой AO, пересекает сторону AC в точке Р. Найдите CР.

Решение. Продолжим прямую ВР до пересечения с окружностью в точке К. Соединим точки А и К. Точку пересечения ВК и АО обозначим буквой Н.