Три общих точки

 Подробно разберем решение задачи 23 из 21 варианта сборника «ОГЭ 2018. Математика. 50 вариантов. Типовые тестовые задания от разработчиков ОГЭ».

Рис 1. 2 параболы

Задача. Постройте график функции у=x²–|4x+3| и определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно три общие точки.
Решение. Рассмотрим два случая.
Первый, когда выражение под знаком модуля не отрицательно, 
4x+3≥0, то есть 4x ≥-3 и x ≥-3/4. Тогда |4x+3|=4x+3 и функция принимает вид
 у = x²–|4x+3| = x²–4x-3. График функции - парабола.
Второй случай, когда выражение под знаком модуля отрицательно, 
4x+3<0, то есть 4x < -3 и x < -3/4.

Тогда |4x+3|= - (4x+3) = - 4x -3 и функция принимает вид

Рис 2. График функции у=x²–|4x+3|

 у = x²–|4x+3| = x²+4x+3. График функции - тоже парабола.
Итак график функции у=x²–|4x+3| состоит из двух парабол с общей точкой (-0,75; 0,5625) (рисунок 2).
Прямые y=m параллельны оси Ох и пересекают ось Оу в точке m. При m < -7 общих точек у прямой y=m и графика данной функции нет.
 При m = -7 одна общая точка.
 При -7< m < -1 две общих точки.
 При m = -1 три общих точки.
 При -1< m < 0,5625 четыре общих точки.
 При m = 0,5625 три общих точки.
 При m > 0,5625 две общих точки.

Ответ. Прямая y=m имеет с графиком ровно три общие точки при m = -1 и m = 0,5625.

При m = -7 одна общая точка

При -7< m < -1 две общих точки

При m = -1 три общих точки

При -1< m < 0,5625 четыре общих точки

При m = 0,5625 три общих точки

При m > 0,5625 две общих точки

   Задания для самостоятельной работы.
 Постройте график функции у=x²–|8x+1| и определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно три общие точки.