Задача 26 из 26 варианта

Рассмотрим решение задачи 26 из 26 варианта из сборника «ОГЭ 2018. Математика. 50 вариантов. Типовые тестовые задания от разработчиков ОГЭ».

(подсказка для подготовки к зачету: решение задачи, подобной задаче 26 из 20 варианта рассмотрено в сообщении "Найдите основания трапеции", решение задачи, подобной задаче 26 из 21 варианта рассмотрено в сообщении "Когда биссектриса и медиана перпендикулярны")

В решении используются свойства вписанных углов, радиуса окружности, проведенного перпендикулярно хорде, свойства подобных треугольников.

Задача. В треугольнике ABC известны длины сторон AB=14, AC=98, точка O — центр окружности, описанной около треугольника ABC. Прямая BР, перпендикулярная прямой AO, пересекает сторону AC в точке Р. Найдите CР.

Решение. Продолжим прямую ВР до пересечения с окружностью в точке К. Соединим точки А и К. Точку пересечения ВК и АО обозначим буквой Н.

Заметим, что треугольник АВК – равнобедренный. Так как радиус, перпендикулярный хорде делит ее пополам,  то АН в треугольнике АВК является высотой и медианой.

Рассмотрим треугольники АВС и АВР. У них угол А общий. Угол АВК равен углу АКВ, но угол АКВ равен АСВ (они вписанные и опираются на одну дугу АВ). Значит углы АВК и АСВ равны и треугольники АВС и АВР подобны по первому признаку. Из пропорциональности соответствующих сторон получаем

АВ:АС=АР:АВ, отсюда АР= АВ²/АС=14²/98=196/98=2.

Значит РС=98-2=96.

Ответ 96.

Задачи для самостоятельного решения.

1. В треугольнике ABC известны длины сторон AB=18, AC=36, точка O — центр окружности, описанной около треугольника ABC. Прямая BD, перпендикулярная прямой AO, пересекает сторону AC в точке D. Найдите CD.
2. В треугольнике ABC известны длины сторон AB=8, AC=64, точка O — центр окружности, описанной около треугольника ABC. Прямая BD, перпендикулярная прямой AO, пересекает сторону AC в точке D. Найдите CD.
3.  В треугольнике ABC известны длины сторон AB=20, AC=40, точка O — центр окружности, описанной около треугольника ABC. Прямая BD, перпендикулярная прямой AO, пересекает сторону AC в точке D. Найдите CD.