Найдите заданный член геометрической прогрессии

Рассмотрим задачи из открытого банка заданий ОГЭ по математике ФИПИ, в которых необходимо найти какой-либо член заданной геометрической прогрессии. Напомним некоторые факты.

Определение. Числовая последовательность b₁, b₂,b₃, …, b_n, … называется геометрической прогрессией, если для всех натуральных n выполняется равенство b_n+1 = b_n* q, где q – некоторое число.

Основное (характеристическое) свойство геометрической прогрессии: каждый её член, начиная со второго, равен среднему геометрическому двух соседних с ним членов, то есть

(b_n)²= b_n-1 * b_n+1 .

 Формула n-го члена геометрической прогрессии b_n = b₁*q^n-1.

Задача 1. Выписаны первые три члена геометрической прогрессии: 125; − 100; 80; … Найдите её пятый член.

Как подготовиться к ЕГЭ по математике

Когда биссектриса и медиана перпендикулярны

Рассмотрим еще одну геометрическую задачу высокого уровня сложности из контрольно-измерительных материалов ОГЭ по математике. В решении используются свойства

биссектрисы и медианы треугольника, теорема Пифагора и другие свойства прямоугольных треугольников. Приведено два способа решения с разными дополнительными построениями.

Задача. В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 208. Найдите стороны треугольника ABC.

Решение.1 способ. Рассмотрим треугольники АВО и DВО. Углы АВО и DВО равны, так как ВЕ – биссектриса. Углы АОВ и DОВ прямые, так как ВЕ и АD перпендикулярны. ОВ – общая сторона. Значит треугольники АВО и DВО равны по второму признаку. Отсюда следует, что АВ= DВ= DС.

Тогда по свойству биссектрисы треугольника отрезок ЕС в два раза больше АЕ (так ВС в два раза больше АВ).