Сколько сделать фотографий?

Рассмотрим задачу из открытого банка заданий ФИПИ по математике (профильный уровень), такие задачи в КИМах стоят под номером 19. За правильное решение таких задач можно получить сразу 4 первичных балла.

Задача 1. Маша и Наташа делали фотографии в течение некоторого количества подряд идущих дней. В первый день Маша сделала m фотографий, а Наташа – n фотографий. В каждый следующий день каждая из девочек делала на одну фотографию больше, чем в предыдущий день. Известно, что Наташа за всё время сделала суммарно на 1001 фотографию больше, чем Маша, и что фотографировали они больше одного дня.

а) Могли ли они фотографировать в течение 7 дней?

б) Могли ли они фотографировать в течение 8 дней?

в) Какое наибольшее суммарное число фотографий могла сделать Наташа за все дни фотографирования, если известно, что в последний день Маша сделала меньше 40 фотографий?

Решение.

а) за семь дней сделают

Маша m+ m+1+ m+2+ m+3+ m+4+ m+5+ m+6=7 m+21,

Наташа n+ n+1+ n+2+ n+3+ n+4+ n+5+ n+6=7 n+21.

Но Наташа сделала на 1001 фотографию больше, чем Маша. То есть

7 n+21-(7 m+21)=1001. Отсюда  7 n-7 m=1001 и, после деления на 7 получаем  

 n- m=143. n= m+143.

Из полученного равенства видно, что решений в этом случае бесконечно много, например n=1, m=144 или  n=2,  m=145.

б) за восемь дней сделают

Маша m+ m+1+ m+2+ m+3+ m+4+ m+5+ m+6+ m+7=8 m+28,

Наташа n+ n+1+ n+2+ n+3+ n+4+ n+5+ n+6+ n+7=8 n+28.

И получаем равенство  

8 n+28-(8 m+28)=1001. Отсюда  8 n-8 m=1001 и, после деления на 8 получаем 

 n- m=1001/8=125,125. То еть разность чисел n и m – дробное число и задача в этом случае решений не имеет.

в) Предположим, что девочки делали фотографии x дней. Тогда в последний день Маша должна была сделать m+х-1<40, m+х<41.

Значит количество дней 1<х<41.

Но если девочки работали x дней, то xn- xm=1001 и, после деления на x получаем 

n- m=1001/ x и

n= m+1001/ x. Чтобы оба числа n и m были целыми, число х должно нацело делить число 1001, а это может быть если х = 7, 11,13.

Теперь  вычислим число фотографий, сделанных Машей, в трех возможных случаях:

1)  пусть х = 7, m+7<41, m<34. В этом случае максимальное m=33. По формуле суммы n первых членов арифметической прогрессии S_n=(a₁+a₂)*n/2

S₇=(33+33+7-1)*7/2=252 фотографии.

2)  пусть х = 11, m+1<41, m<30. В этом случае максимальное m=29. По формуле суммы n первых членов арифметической прогрессии S_n=(a₁+a₂)*n/2

S₁₁=(29+29+11-1)*11/2=374 фотографии.

3)  пусть х = 13, m+13<41, m<28. В этом случае максимальное m=27. По формуле суммы n первых членов арифметической прогрессии S_n=(a₁+a₂)*n/2

S₁₃=(27+27+13-1)*13/2=429 фотографий.

Значит, Наташа в этом случае сделает  429+1001=1430 фотографий.

Ответ: а) да; б) нет; в) 1430.

Задачи для самостоятельного решения.

1. Маша и Наташа делали фотографии несколько дней подряд. В первый день Маша сделала m фотографий, а Наташа — n фотографий. В каждый следующий день каждая из девочек делала на одну фотографию больше, чем в предыдущий день. Известно, что Наташа за всё время сделала суммарно на 1173 фотографии больше, чем Маша, и что фотографировали они больше одного дня.

а) Могли ли они фотографировать в течение 17 дней?

б) Могли ли они фотографировать в течение 18 дней?

в)  Какое наибольшее суммарное число фотографий могла сделать Наташа за все дни фотографирования, если известно, что в последний день Маша сделала меньше 45 фотографий?

2. Маша и Наташа делали фотографии несколько дней подряд. В первый день Маша сделала m фотографий, а Наташа — n фотографий. В каждый следующий день каждая из девочек делала на одну фотографию больше, чем в предыдущий день. Известно, что Наташа за всё время сделала суммарно на 935 фотографий больше, чем Маша, и что фотографировали они больше одного дня.

а) Могли ли они фотографировать в течение 5 дней?

б) Могли ли они фотографировать в течение 6 дней?

в)  Какое наибольшее суммарное число фотографий могла сделать Наташа за все дни фотографирования, если известно, что в последний день Маша сделала меньше 50 фотографий?