Модуль квадратичной функции

Еще одна серия задач на построение графиков функций, но теперь это квадратичные функции под знаком модуля. Также повышенной трудности из открытого банка заданий ФИПИ по математике. Эти задачи предлагаются в контрольно-измерительных материалах ОГЭ под тем же номером 23 (модуль "Алгебра").

 Задача 1. Постройте график функции y=∣x² +5x+4∣. Какое наибольшее число общих точек график данной функции может иметь с прямой, параллельной оси абсцисс?

Решение. Область определения данной функции R.

График функции y=∣x² +5x+4∣ получается из графика квадратичной функции y=x² +5x+4 симметричным отображением относительно оси Ох той части графика, где у меньше нуля. Найдем координаты вершины параболы y=x² +5x+4 по формуле х₀= -b/(2a) =-5/2=-2,5. Тогда у0 = (-2,5)²+5*(-2,5)+ 4= - 2,25. Модуль эту точку отобразит в точку (2,5; 2,25).

Найдем точки пересечения параболы с осью Ох, решив уравнение x² +5x+4 = 0. Его корни х₁ = -1 и х₂ = -4. В этих точках график функции y=∣x² +5x+4∣ будет касаться оси Ох.

Строим график функции  y=∣x² +5x+4∣.

Вспомним, что прямые, параллельные оси абсцисс имеют уравнение у = m. Теперь по графику видно, что эти прямые могут иметь с графиком функции y=∣x² +5x+4∣ две общих точки (при m = 0 и m >2,25), три общих точки (при m =2,25) и четыре общих точки (при 0<m<2,25).

Ответ 4.

Задачи для самостоятельного решения.

1.     Постройте график функции y=∣x² −x−2∣. Какое наибольшее число общих точек график данной функции может иметь с прямой, параллельной оси абсцисс?

2.     Постройте график функции y=∣x² +5x+6∣. Какое наибольшее число общих точек график данной функции может иметь с прямой, параллельной оси абсцисс?

3.     Постройте график функции y=∣x² +4x−5∣. Какое наибольшее число общих точек график данной функции может иметь с прямой, параллельной оси абсцисс?

4.     Постройте график функции y=∣x² −6x+5∣. Какое наибольшее число общих точек график данной функции может иметь с прямой, параллельной оси абсцисс?

5.     Постройте график функции y=∣x² +x−2∣. Какое наибольшее число общих точек график данной функции может иметь с прямой, параллельной оси абсцисс?

6.     Постройте график функции y=∣x² +3x+2∣. Какое наибольшее число общих точек график данной функции может иметь с прямой, параллельной оси абсцисс?

7.     Постройте график функции y=∣x² −9∣. Какое наибольшее число общих точек график данной функции может иметь с прямой, параллельной оси абсцисс?

8.     Постройте график функции y=∣x² −4x+3∣. Какое наибольшее число общих точек график данной функции может иметь с прямой, параллельной оси абсцисс?

9.     Постройте график функции y=∣x² +2x−3∣. Какое наибольшее число общих точек график данной функции может иметь с прямой, параллельной оси абсцисс?