Сушим фрукты на ОГЭ

Приводим серию задач из открытого банка заданий ФИПИ по математике для подготовки к ОГЭ. Эти задачи идут на итоговой аттестации под номером 22.

Задача 1. Свежие фрукты содержат 78% воды, а высушенные — 22%. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 22 кг высушенных фруктов?

Решение. Высушенные фрукты содержат 22% воды, остальные 78% - «сухие» вещества, из которых состоят фрукты. Найдем количество «сухих» веществ в высушенных фруктах

22 кг  -  100%

х кг   -   78%. Отсюда х = 22*78/100 = 17,16 кг.

Но в свежих фруктах содержалось такое же количество «сухих» веществ (испаряется только вода), получаем

17,16 кг   -  22%

х кг         -  100%. Отсюда х = 17,16*100/22= 78 кг.

Ответ 78.

Задача 2. Свежие фрукты содержат 88% воды, а высушенные — 30%. Сколько сухих фруктов получится из 420 кг свежих фруктов?

Две окружности и две касательных

Рассмотрим решение задачи повышенной трудности из сборника контрольно-измерительных материалов «Математика. ОГЭ. 2018» под редакцией И.В. Ященко.

Задача. Окружности радиусов 42 и 84 касаются внешним образом. Точки A и B лежат на первой окружности, точки C и D — на второй. При этом AC и BD — общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми AB и CD.

Решение. Продолжим касательные АС и BD до пересечения в точке Е. Вспомним свойство касательных.

Если из точки вне окружности провести две касательные к этой окружности, то их отрезки от данной точки до точек касания равны и центр окружности лежит на биссектрисе угла, образованного касательными.

Доказано тремя способами

Рассмотрим три способа решения одной задачи по геометрии повышенной сложности, такие задачи на ОГЭ идут под номером 25, на доказательство.

Задача. Две окружности с центрами К и Р пересекаются в точках В и С, центры К и Р лежат по одну сторону относительно прямой ВС. Доказать, что прямая ВС перпендикулярна прямой КР.

Доказательство.

1 способ. (Используем свойства равнобедренного треугольника) Соединим центры К и Р с точками пересечения окружностей В и С. Треугольник КВС – равнобедренный, так как КВ и КС – радиусы окружности с центром К. Из точки К проведем перпендикуляр КН к прямой ВС. По свойству равнобедренного треугольника КН является и медианой, то есть ВН=НС.

Треугольник РВС – тоже равнобедренный, так как РВ и РС – радиусы окружности с центром Р. Соединим точки Р и Н, РН – медиана треугольника РВС. По свойству равнобедренного треугольника РН является и высотой. Но через точку Н можно провести только одну прямую, перпендикулярную прямой ВС. Значит прямая КР проходит через точку Н и перпендикулярна ВС. Что и требовалось доказать.

Когда приедет желтое такси

Рассмотрим серию простых задач по теории вероятности, которые предлагает Открытый банк заданий ОГЭ ФИПИ.

Задача 1. В фирме такси в данный момент свободно 15 машин: 3 чёрных, 6 жёлтых и 6 зелёных. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему приедет жёлтое такси.

Решение. Вероятность события равна отношению числа благоприятных этому событию исходов к общему числу всех возможных исходов. В данной задаче интересующее нас событие – приезд желтой машины. Из пятнадцати машин (возможные исходы), желтых 6 (благоприятный исход). Вероятность приезда желтой машины P=6/15 = 0,4.

Ответ: P=0,4.

Двумя способами

Рассмотрим два способа решения одного уравнения (задания, которые предлагаются под номером 21 на ОГЭ, то есть повышенной трудности). Все задания из Открытого банка заданий ФИПИ.

Методом замены переменных

Рассмотрим несколько примеров на решение уравнений методом замены переменных (задания, которые предлагаются под номером 21 на ОГЭ, то есть повышенной трудности). Все задания из Открытого банка заданий ФИПИ.

 Переходим к решению другого задания.

Параллелограмм на клетчатой бумаге

И на ОГЭ в 9 классе, и на ЕГЭ в 11 классе достаточно много заданий на клетчатой бумаге. В этом сообщении мы рассмотрим несколько задач, составленных по одному чертежу.
На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображён параллелограмм.
Задача 1. Найдите площадь этого параллелограмма.
Задача 2. Найдите периметр этого параллелограмма.
Задача 3. Вычислите котангенс острого угла параллелограмма.
Задача 4. Вычислите синус острого угла параллелограмма.
Задача 5. Вычислите косинус острого угла параллелограмма.
Задача 6. Найдите длину меньшей диагонали параллелограмма.