Неравенства базового уровня

В этой статье рассмотрим решение заданий, которые предлагаются на базовом ЕГЭ о математике под номером 17. Задания из открытого банка заданий (базовый уровень), расположенного на сайте ФИПИ. Здесь необходимо уметь находить решения простых квадратных, показательных, логарифмических, дробно-рациональных уравнений.

Задание 1. Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

Впишите в приведённую в ответе таблицу под каждой буквой соответствующую цифру.

 Решение. Рассмотрим первое неравенство. Дробь меньше нуля, если числитель и знаменатель этой дроби имеют разные знаки. Но у нас в знаменателе стоит квадрат какого-то числа, а он всегда неотрицателен (больше нуля или равен нулю). Но так как на нуль делить нельзя, то х не может равнять трём и (х – 3)²>0. Значит, числитель должен быть отрицательным

х – 5 <0 или х  < 5. Соответствующий ответ находится под номером 4.

Рассмотрим второе неравенство. Показательное. Одна двадцать пятая, это пять в минус второй степени и мы имеем 5^–х+1<5^–2, отсюда –х+1<–2 или –х <–3. Умножая обе части неравенства на –1 и меняя знак неравенства, получаем ответ х>3. Соответствующий ответ находится под номером 2.

Рассмотрим третье неравенство. Оно решается методом интервалов.

Уравнение (х –3)(х –5)=0 имеет корни 3 и 5. Отметим их на числовой оси и расставим знаки, которые принимает выражение (х –3)(х –5) на соответствующих числовых промежутках.

То есть все решения задаются неравенствами х<3 и х>5. Соответствующий ответ находится под номером 1.

Рассмотрим четвёртое неравенство. Так как выражение, стоящее под знаком логарифма должно быть положительным, то х–3>0 или х>3, то есть логарифм имеет смысл только при х>3. Это область определения данного логарифма.

Теперь решаем неравенство, заменив 1 на log₂2.

log₂(х –3) < log₂2, так как основание логарифма 2 >1, то знак неравенства сохраняется при переходе к выражениям, стоящим под знаками логарифмов. Получаем

х –3 < 2, х< 5. С учётом области определения логарифма х>3 получаем 3<х< 5. Соответствующий ответ находится под номером 3. Заносим ответы в таблицу.

А	Б	В	Г
4	2	1	3

Ответ 4213.

Задание 2. Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно
из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

Впишите в приведённую в ответе таблицу под каждой буквой соответствующий номер решения.

Решение. Область определения логарифма log₂х: х>0.  

Рассмотрим первое неравенство log₂х >1. Заменим 1 на log₂2. Получим

log₂х < log₂2. Так как основание логарифма 2 >1, то знак неравенства сохраняется при переходе к выражениям, стоящим под знаками логарифмов. Получаем

х > 2. Все решения входят в область определения логарифма х>0. Соответствующий ответ находится под номером 4.

Рассмотрим второе неравенство log₂х < – 1. Заменим – 1 на log₂0,5. Получим

log₂х < log₂0,5. Основание логарифма 2 >1, знак неравенства сохраняется. Получаем

х < 0,5. С учётом области определения  х>0 получаем 0<х< 0,5. Соответствующий ответ находится под номером 1.

Рассмотрим третье неравенство log₂х > – 1. Заменим – 1 на log₂0,5. Получим

log₂х > log₂0,5. Основание логарифма 2 >1, знак неравенства сохраняется. Получаем

х > 0,5. Все решения входят в область определения логарифма. Соответствующий ответ находится под номером 2.

Рассмотрим четвёртое неравенство log₂х <1. Заменим 1 на log₂2. Получим

log₂х < log₂2. Основание логарифма 2 >1, знак неравенства сохраняется. Получаем

х < 2. С учётом области определения логарифма х>0 получаем 0<х< 2. Соответствующий ответ находится под номером 3.

А	Б	В	Г
4	1	2	3

Ответ 4123.

Задания для самостоятельного решения.

Задание 1.  Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

Впишите в приведённую в ответе таблицу под каждой буквой соответствующий номер решения. 

Задание 2. Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

Впишите в приведённую в ответе таблицу под каждой буквой соответствующий номер решения.

Задание 3. Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно
из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

Впишите в приведённую в ответе таблицу под каждой буквой соответствующую цифру.

Задание 4. Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно
из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

Впишите в приведённую в ответе таблицу под каждой буквой соответствующую цифру.

Задание 5. Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно
из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

Впишите в приведённую в ответе таблицу под каждой буквой соответствующий номер решения.

Задание 6.

Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно
из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

Впишите в приведённую в ответе таблицу под каждой буквой соответствующий номер решения.

 Задание 7.

 Задание 8.

 Задание 9.

Задание 10.