Квадраты на катетах треугольника

Тренировочная работа №13. Задание 16.

На катетах АС и ВС прямоугольного треугольника АВС вне треугольника построены квадраты АСDE и BFKC. Точка М – середина гипотенузы АВ, Н – точка пересечения прямых СМ и DK.
а) Докажите, что CM перпендикулярна DK.
б) Найдите МН, если известно, что катеты треугольника АВС равны 30 и 40.

Решение.

а) Треугольники АВС и DСK равны, так как ÐDСK = ÐАСВ = 90°, DС=АС – стороны одного квадрата, КС=ВС – стороны другого квадрата.

Из равенства треугольников АВС и DСK вытекает равенство углов ВАС и СDK, АВС и DKС. Поскольку медиана прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла равна половине гипотенузы, то СМ=АМ=ВМ. Треугольники АМС и ВМС равнобедренные, а значит углы МАС и АСМ равны, углы МВС и ВСМ тоже равны. Заметим, что угол МСВ равен углу DСН – вертикальные.

В треугольнике АВС Ð1 + Ð2 = 90°, значит в треугольнике DСН тоже Ð1 + Ð2 = 90°. Из этого вытекает, что ÐDНС = 90°. Первое утверждение доказано.

б) По теореме Пифагора находим гипотенузу АВ, АВ²=ВС²+АС²= 900+1600=2500. Значит ДК = АВ = 50.
СМ = 0,5АВ = 25. По свойству пропорциональных отрезков в прямоугольном треугольнике АВС следует, что DС² = DН * DК,
30²= DН * 50,
900 = DН * 50,
DН = 900/50= 18
НК = 50 – 18 = 32.

СН²= DН*НК = 18*32 = 9*16*4.
СН = 3*4*2 = 24

МН = 24+25=49

Ответ 49.