Спрос, цена и выручка

Приведём очередную серию задач из открытого банка ФИПИ с экономическим содержанием (задания под номером 10 на профильном ЕГЭ), при решении которых надо уметь находить корни квадратных уравнений.

Задание №41199  Зависимость объёма спроса q (единиц в месяц) на продукцию предприятия-монополиста от цены p  (тыс. руб.) задаётся формулой q=85−5p. Выручка предприятия за месяц r (в тыс. руб.) вычисляется по формуле r(p)=q⋅p. Определите наибольшую цену p, при которой месячная выручка r(p) составит не менее 350 тыс. руб. Ответ приведите в тыс. руб.

Решение. Для решения этой задачи мы в формулу для расчёта выручки r(p)=q⋅p подставим формулу зависимости объёма спроса q=85−5p и получим

r(p)= (85−5p)⋅p. По условию выручка должна быть не менее 350 тыс. руб., то есть

350= (85−5p)⋅p или 350= 85p −5p².  После переноса в правую часть, получаем

5p² − 85p +350 = 0, делим на 5 обе части уравнения

p² − 17p +70 = 0. Корни уравнения 7 и 10. Наибольшая цена 10 тыс. руб.

Ответ 10.

Коэффициент полезного действия (КПД)

Задание №28267  Коэффициент полезного действия (КПД) некоторого двигателя определяется формулой (1), где T1 — температура нагревателя (в градусах Кельвина), T2 — температура холодильника (в градусах Кельвина). При какой минимальной температуре нагревателя T1 КПД этого двигателя будет не меньше 25%, если температура холодильника T2=276 К? Ответ выразите в градусах Кельвина.

Решение. Подставляем данные в формулу (1) и получаем

0,25 = (T₁- 276)/ T₁, отсюда 0,25 T₁ = T₁- 276,

276 = T₁- 0,25 T₁, 276 = 0,75 T₁, T₁ = 368.

Ответ 368.

Как вытекает вода из бака?

Задание №28081  В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплeн кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нeм, выраженная в метрах, меняется по закону (1), где t — время в секундах, прошедшее с момента открытия крана, H0=5 м — начальная высота столба воды, k=1/200 — отношение площадей поперечных сечений крана и бака, а g — ускорение свободного падения (считайте g=10 м/с2). Через сколько секунд после открытия крана в баке останется четверть первоначального объёма воды?

Задание №28091  В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплeн кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нeм, выраженная в метрах, меняется по закону H(t)=at²+bt+H0, где H0=2 м — начальный уровень воды, a=1/50 м/мин2, и b=−2/5 м/мин — постоянные, t — время в минутах, прошедшее с момента открытия крана. В течение какого времени вода будет вытекать из бака? Ответ приведите в минутах.

Трактор тащит сани

Задачи с практическим содержанием из открытого банка ФИПИ, при их решении надо уметь производить простейшие вычисления и находить углы по значениям тригонометрических функций.

Задание №28609  Трактор тащит сани с силой F=80 кН, направленной под острым углом α к горизонту. Работа трактора (в килоджоулях) на участке длиной S=50 м вычисляется по формуле A=FScosα. При каком максимальном угле α (в градусах) совершённая работа будет не менее 2000 кДж?

Решение. Для решения этой задачи мы переведём все данные в соответствие с системой СИ, F=80 кН=80 000Н, А=2000 кДж=2 000 000Дж. Подставим в уравнение

2 000 000=80 000*50* cosα или 2 000 000=4000 000*cosα, отсюда cosα=0,5. Значит угол равен 60 градусам.

Ответ 60.

А рельсы всё-таки удлиняются

В этой  серии задач из открытого банка ФИПИ с практическим содержанием необходимо

уметь работать с числами, записанными в стандартном виде, и производить простейшие вычисления.

 формула теплового расширения рельса.

 

Задание №41089  При температуре ноль градусов Цельсия рельс имеет длину l₀=18 м. При возрастании температуры происходит тепловое расширение рельса, и его длина, выраженная в метрах, меняется по закону l(t⁰)=l₀(1+α⋅t⁰), где α=1,2⋅10⁻⁵(⁰C)⁻¹ — коэффициент теплового расширения, t⁰ — температура (в градусах Цельсия). При какой температуре рельс удлинится на 8,1 мм? Ответ выразите в градусах Цельсия.

Решение. В начале переведём удлинение рельса в метры 8,1 мм = 0,0081 м. Значит, длина рельса станет равной 18,0081 м. Подставляем все имеющиеся данные в формулу и получаем

18,0081 = 18(1 + 1,2*10^-5t), раскроем скобки

18,0081 = 18 + 21,6 t /100000,

0,0081 = 21,6 t /100000, умножим обе части уравнения на 100000.

810 = 21,6 t, или t = 37,5

Ответ 37,5.

Задания для самостоятельной работы

Уровень воды в колодце

Очередная серия задач из открытого банка ФИПИ с практическим содержанием, при их решении надо уметь производить простейшие вычисления.

Задание №41179  После дождя уровень воды в колодце может повыситься. Мальчик измеряет время t падения небольших камешков в колодец и рассчитывает расстояние до воды по формуле h=5t², где h — расстояние в метрах, t — время падения в секундах. До дождя время падения камешков составляло 1,1 с. На сколько должен подняться уровень воды после дождя, чтобы измеряемое время изменилось на 0,1 с? Ответ выразите в метрах.

Решение. Найдём первоначальное расстояние до воды в колодце

h=5*1,1*1,1 = 6,05 метра.

Уровень воды после дождя поднялся и время падения камешков стало меньше 1,1 – 0,1 = 1. Расстояние до воды стало h =5*1*1 = 5 метров. Уровень воды поднялся на 6,05 – 5 = 1,05 метра.

Ответ 1,05.

Задания для самостоятельной работы

Расходы и прибыль компании

Приведём большую серию задач из открытого банка ФИПИ с экономическим содержанием,

при решении которых надо уметь решать простые уравнения.

Задание №41119  Некоторая компания продает свою продукцию по цене p=400 руб. за единицу, переменные затраты на производство одной единицы продукции составляют v=200 руб., постоянные расходы предприятия f=700000 руб. в месяц. Месячная операционная прибыль предприятия (в рублях) вычисляется по формуле π(q)=q(p−v)−f. Определите месячный объём производства q (единиц продукции), при котором месячная операционная прибыль предприятия будет равна 600000 руб.

Решение. Подставляем все данные в формулу и получаем

600000 = q(400 – 200) – 700000,

1300000 = 200q,

q =6500 единиц продукции.

Ответ 6500.

Задания для самостоятельной работы

Груз колеблется на пружине

Приведём ещё одну серию задач из открытого банка ФИПИ с физическим содержанием, при решении которых надо уметь считать и немного знать тригонометрические функции.

Задание №28675 Груз массой 0,16 кг колеблется на пружине со скоростью, меняющейся по закону (1), где t — время с момента начала колебаний, T=2 с — период колебаний, v₀=1,5 м/с. Кинетическая энергия E (в джоулях) груза вычисляется по формуле (2), где m — масса груза в килограммах, v — скорость груза (в м/с). Найдите кинетическую энергию груза через 3 секунды после начала колебаний. Ответ дайте в джоулях.

Мяч бросили под углом к горизонту

·  Задание №28519

Мяч бросили под углом a к плоской горизонтальной поверхности земли. Время полёта мяча (в секундах) определяется по формуле (1). При каком наименьшем значении угла альфа  (в градусах) время полёта будет не меньше 1,9 секунды, если мяч бросают с начальной скоростью v₀=19 м/с? Считайте, что ускорение свободного падения g=10 м/с².

·  Задание №28577

Небольшой мячик бросают под острым углом α к плоской горизонтальной поверхности земли. Максимальная высота полёта мячика, выраженная в метрах, определяется формулой (2), где v0=16 м/с — начальная скорость мячика, а g — ускорение свободного падения (считайте g=10 м/с2). При каком наименьшем значении угла α (в градусах) мячик пролетит над стеной высотой 2,2 м на расстоянии 1 м?

В цилиндрическом сосуде

Задание 1. В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 48 см. На какой высоте

будет находиться уровень жидкости, если её перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 2 раза больше диаметра первого? Ответ выразите в см.

Решение. Заметим, что при переливании жидкости из одного сосуда в другой объём жидкости не изменился. Объём цилиндра равен произведению площади основания на высоту этого цилиндра. То есть V=Sh=pR²h. Поскольку в новом сосуде диаметр, а значит и радиус, в 2 раза больше, то площадь основания будет больше в 4 раза, значит высота, соответственно, уменьшится в 4 раза, то есть станет равна 48:4=12 см.

Ответ 12.         

Задание 2. В цилиндрический сосуд, в котором находится 6 дм³ воды, опустили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся в 1,5 раза. Чему равен объём детали? Ответ выразите в дм³.