Окружность и углы

Задача 1. Отрезки AC и BК — диаметры окружности с центром O. Угол AOК равен 114°. Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах.

Решение. В решении этой задачи мы должны использовать свойство вертикальных углов. В данном случае угол АОК является вертикальным с углом ВОС треугольника ВОС и  угол ВОС равен 114 градусам. Мы знаем, что сумма углов треугольника равна 180 градусам. Значит сумма углов ОВС и ОСВ равна 180 – 114 = 66 градусов. Углы ОВС и ОСВ равны, так как треугольник ОВС равнобедренный (ОВ = ОС – радиусы).

Поэтому угол АСВ равен 66:2=33 градусам.

Ответ 33.

Задача 2. На окружности радиуса 3 отмечена точка С. Отрезок АВ — диаметр окружности, АС=2корня из пяти. Найдите ВС.

Решение. Мы должны заметить, что угол АСВ вписанный и опирается на половину окружности (АВ – диаметр). Значит он равен 90 градусам и треугольник АВС прямоугольный. Имеем право применить теорему Пифагора. ВС² = АВ² – АС² = 36 – 20 = 16. ВС = 4.

Ответ 4.

Задача 3. Колесо имеет 8 спиц. Углы между соседними спицами равны. Найдите величину угла (в градусах), который образуют две соседние спицы.

Решение. Заметим, что 8 спиц разбивают круг на 8 равных секторов. Их центральные углы равны, значит, каждый из них равен 360:8 = 45 градусов. А это и есть углы между спицами.

Ответ 45.

Задача 4. Окружности радиусов 2 и 3 с центрами O₁ и O₂ соответственно касаются в точке A. Прямая, проходящая через точку A, вторично пересекает меньшую окружность в точке B, а большую — в точке C. Найдите площадь треугольника BCO₂, если ∠ABO₁=30°.

Решение. В первую очередь заметим, что треугольники АВО₁ и АСО₂ равнобедренные, углы при основании у них равны 30 градусам. Значит углы ВО₁А и СО₂А равны 120 градусам.

По теореме косинусов АВ² = О₁А² + О₁В² – 2*О₁А*О₁В*cos ВО₁А = 4 + 4 + 4 =12, 

АВ = 2корня из трёх .

АС² = О₂А² + О₂С² – 2*О₂А*О₂С*cos СО₂А = 9 + 9 + 9 =27, АС =3 корня из трёх.

СВ = АС + АВ = 3корня из трёх  + 2корня из трёх  = 5 корней из трёх

Площадь треугольника равна половине произведения двух сторон на синус угла между ними. В данном случае площадь треугольника BCO₂ равна 0,5*CO₂*СВ*sinBCO₂ = 0,5*3*5корней из трёх  *0,5 = 3,75корня из трёх .    

 Ответ 3,75корня из трёх.

Задачи для самостоятельного решения.

Задача 1. В окружности с центром O отрезки AC и BD — диаметры. Центральный угол AOD равен 124°. Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах.

Задача 2. В окружности с центром O отрезки AC и BD — диаметры. Центральный угол AOD равен 130°. Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах.

Задача 3. В окружности с центром O отрезки AC и BD — диаметры. Центральный угол AOD равен 112°. Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах.

Задача 4. На окружности радиуса 3 отмечена точка С. Отрезок АВ — диаметр окружности, АС=3корня из трёх . Найдите ВС.

Задача 5. На окружности радиуса 3 отмечена точка С. Отрезок АВ — диаметр окружности, АС=4корня из двух . Найдите ВС.

Задача 6. Колесо имеет 5 спиц. Углы между соседними спицами равны. Найдите величину угла (в градусах), который образуют две соседние спицы.

Задача 7. На рисунке показано, как выглядит колесо с 8 спицами. Сколько будет спиц в колесе, если угол между соседними спицами в нём будет равен 20°?

Задача 8. На рисунке показано, как выглядит колесо с 8 спицами. Сколько будет спиц в колесе, если угол между соседними спицами в нём будет равен 36°?

Задача 9. Колесо имеет 15 спиц. Углы между соседними спицами равны. Найдите величину угла (в градусах), который образуют две соседние спицы.

Задача 10. Окружности радиусов 5 и 8 с центрами O1 и O2 соответственно касаются в точке A. Прямая, проходящая через точку A, вторично пересекает меньшую окружность в точке B, а большую — в точке C. Найдите площадь треугольника BCO2, если ∠ABO1=15°.