Трапеция и окружность

Задачи из открытого банка ФИПИ.

Задача 1. Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 40, её большая боковая сторона равна 11. Найдите радиус окружности.

Решение. В решении этой задачи мы должны использовать свойство описанного четырёхугольника, суммы длин противоположных сторон у него равны. Значит сумма боковых сторон равна 40:2=20. Отсюда находим высоту трапеции, она равна стороне АВ (так как трапеция прямоугольная АВ перпендикулярна AD), АВ = 20 – CD = 20 – 11 = 9. Высота описанной трапеции равна диаметру вписанной в неё окружности. Значит, радиус окружности равен 9:2 = 4,5.

Ответ 4,5.

Задача 2. Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 15 и 22. Найдите среднюю линию трапеции.

Решение. В решении этой задачи мы должны также использовать свойство описанного четырёхугольника, суммы длин противоположных сторон у него равны. Сумма боковых сторон 15 + 22 = 37. Значит сумма оснований также равна 37. Так как средняя линия трапеции равна половине суммы оснований, то она равна 37:2 = 18,5.

Ответ 18,5.

Задача 3. Повышенный уровень. Периметр равнобедренной трапеции равен 136. Известно, что в эту трапецию можно вписать окружность, причём боковая сторона делится точкой касания в отношении 9 : 25. Прямая, проходящая через центр окружности и вершину трапеции, отсекает от трапеции треугольник. Найдите отношение площади этого треугольника к площади трапеции.

Решение. В решении этой задачи основную роль играют свойства описанного четырёхугольника и касательных, проведённых к окружности из одной точки. Если мы примем длину отрезка СМ = 9х, то длина MD = 25х, а боковая сторона СD будет равна 34х.

Трапеция равнобедренная, значит АВ = 34х. Сумма боковых сторон равна 68х, тогда сумма оснований такая же и периметр равен 136х. Но  периметр известен и получаем 136х =136, х=1.

Боковые стороны трапеции будут СD = АВ = 34. Найдём основания.

Так как отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки равны, то СМ = СР = ВР = ВЕ =9. Значит ВС = 18. Аналогично MD = НD = АН = АЕ = 25. АD = 50.

Площадь трапеции будет равна произведению полусуммы оснований на высоту, то есть 0,5*(18 + 50)* h = 34h.

Высота треугольника СКD, проведённая из вершины С равна высоте трапеции h. Надо заметить, что треугольник СКD равнобедренный (Угол ОСР равен углу ОСМ, так как СО – биссектриса угла ВСМ. Угол ОСР равен углу ОКН как накрестлежащие при параллельных ВС и АD и секущей СК. Значит угол ОСМ равен углу ОКН, отсюда СD= КD=34.)

Площадь треугольника СКD равна половине произведения основания на высоту, то есть 0,5*34*h = 17 h.

Видим, что отношение площади этого треугольника к площади трапеции равно 17 h: 34h=0,5.

Ответ 0,5.  

Задачи для самостоятельного решения.

Задача 1. Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 32, её большая боковая сторона равна 9. Найдите радиус окружности.

Задача 2. Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 24, её большая боковая сторона равна 7. Найдите радиус окружности.

Задача 3. Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 9 и 12. Найдите среднюю линию трапеции.

Задача 4. Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 12 и 15. Найдите среднюю линию трапеции.

Задача 5. Окружность вписана в равнобедренную трапецию, основания которой равны 18 и 50. Прямая, проходящая через центр окружности и вершину трапеции, отсекает от трапеции треугольник. Найдите отношение площади этого треугольника к площади трапеции.