Трапеция на ЕГЭ. Базовый уровень.

Трапеция на ЕГЭ. Базовый уровень.

Задачи из открытого банка заданий ФИПИ.

Задача 1. В трапеции ABCD известно, что AB=CD, ∠BDA=54° и ∠BDC=23°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

Решение. В данной трапеции угол АDC при нижнем основании равен сумме углов АDВ и ВDC, равен 54 + 23 =77 градусам. Поскольку трапеция равнобедренная, то углы при нижнем основании равны и угол ВАD тоже равен 77 градусам. Сумма углов ВАD и АВD равна 180 градусам (односторонние при параллельных прямых АD и ВС и секущей АВ). Значит угол АВС равен 180 – 77 =103 градусам.

Далее используем равенство углов АDВ и DВС (накрестлежащие при параллельных прямых АD и ВС и секущей ВD). Значит угол АВD равен 103 – 54 =49 градусам.

Ответ 49.

Задача 2. Основания равнобедренной трапеции равны 10 и 24, боковая сторона равна 25. Найдите высоту трапеции.

Решение. В данной трапеции верхнее основание ВС равно 10, нижнее АD=24. Из вершин В и С опустим высоты на нижнее основание. В получившемся прямоугольнике НВСК НК=ВС=10. Треугольники АВН и КDC равны (они прямоугольные, ВН=СК, АВ = DC), значит АН=КD=(24-10):2=7. По теореме Пифагора в треугольнике АВН квадрат катета ВН равен разности квадрата гипотенузы АВ и квадрата катета АН. То есть ВН² = 625 – 49 = 576. ВН = 24.

Ответ 24.

Задача 3. В равнобедренной трапеции одно из оснований
равно 3, а другое — 7. Высота трапеции равна 4. Найдите тангенс острого угла трапеции.

Решение. В данной трапеции верхнее основание ВС равно 3, нижнее АD=7. Из вершин В и С опустим высоты на нижнее основание. В получившемся прямоугольнике НВСК НК=ВС=3. Треугольники АВН и КDC равны (они прямоугольные, ВН=СК, АВ = DC), значит АН=КD=(7-3):2=2. Тангенс острого угла ВАН в прямоугольном треугольнике АВН равен отношению противолежащего катета ВН к прилежащему катету АН, то есть 4:2=2.

Ответ 2.

Задача 4. Основания трапеции равны 8 и 16, боковая сторона, равная 6, образует с одним из оснований трапеции угол 150°. Найдите площадь трапеции.

Решение. Пусть в трапеции на рисунке основания ВС=8, AD=16, боковая сторона АВ=6, а угол АВС равен 150 градусам. Мы знаем, что площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту. Основания известны. Найдём высоту ВН. В прямоугольном треугольнике АВН угол АВН равен 150 – 90 =60 градусам. Значит угол ВАН равен 90 – 60 =30 градусам. А в прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы. Значит ВН=3.

Осталось вычислить площадь трапеции. Полусумма оснований равна (8+16):2=12. Площадь равна 12*3=36.

Ответ 36.

Задача 5. В прямоугольной трапеции АВСD с основаниями ВС и АD угол ВAD прямой, АВ=3, ВС=CD=5. Найдите среднюю линию трапеции.

Решение. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований. В данной трапеции верхнее основание ВС равно 5, нижнее АD неизвестно. Из вершины С опустим высоту на нижнее основание. В получившемся прямоугольнике НВСК АН=ВС=5, СН=АВ=3. Треугольник НDC прямоугольный. По теореме Пифагора квадрат катета НD равен разности квадрата гипотенузы DC и квадрата катета СН. То есть НD² = 65 –9 = 16. НD = 4. Значит нижнее основание АD=АН+НD=5+4=9. Средняя линия трапеции равна (5+9):2=7.

Ответ 7.

Задача 6. В прямоугольной трапеции основания равны 4 и 7, а один из углов равен 135°. Найдите меньшую боковую сторону.

Решение. Воспользуемся чертежом к предыдущей задаче. В данной трапеции верхнее основание ВС равно 4, нижнее АD =7. Угол ВСD равен 135 градусам. Из вершины С опустим высоту на нижнее основание. Тогда НD=7-4=3. В получившемся прямоугольном треугольнике НDC угол НСD равен 135-90=45 градусам. Значит и угол НDC тоже 45 градусов. Катеты СН= НD=3.

Ответ 3.

Задачи для самостоятельного решения.

1. В трапеции ABCD известно, что AB=CD, ∠BDA=40° и ∠BDC=30°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.
2. В трапеции ABCD известно, что AB=CD, ∠BDA=45° и ∠BDC=23°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.
3. В трапеции ABCD известно, что AB=CD, ∠BDA=49° и ∠BDC=31°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.
4. Основания равнобедренной трапеции равны 7 и 13, боковая сторона равна 5. Найдите высоту трапеции.
5. Основания равнобедренной трапеции равны 11 и 21, боковая сторона равна 13. Найдите высоту трапеции.
6. Основания трапеции равны 10 и 20, боковая сторона, равная 8, образует с одним из оснований трапеции угол 150°. Найдите площадь трапеции.
7. В равнобедренной трапеции одно из оснований равно 5, а другое — 9. Высота трапеции равна 6. Найдите тангенс острого угла трапеции.
8. В прямоугольной трапеции АВСD с основаниями ВС и АD угол ВAD прямой, АВ=8, ВС=CD=10. Найдите среднюю линию трапеции.
9. В прямоугольной трапеции АВСD с основаниями ВС и АD угол ВAD прямой, АВ=15, ВС=CD=17. Найдите среднюю линию трапеции.
10. В прямоугольной трапеции основания равны 3 и 5, а один из углов равен 135°. Найдите меньшую боковую сторону.