Задача по стереометрии из демонстрационного варианта 2016

Задание 14 из демонстрационного варианта ЕГЭ по математике 2016 года (профильный уровень).

Все рёбра правильной треугольной призмы АВСА₁В₁С₁ имеют длину 6. Точки M и N – середины рёбер АА₁ и А₁С₁ соответственно.

а) докажите, что прямые ВМ и МN перпендикулярны.

б) Найдите угол между плоскостями ВМN и АВВ₁.

Решение. а) В треугольнике АВС проведём медиану ВН. Так как треугольник равносторонний, то ВН является и высотой. Тогда из треугольника АВН найдём квадрат катета ВН по теореме Пифагора ВН²=АВ² – АН² = 36 – 9 = 27.

Далее мы видим, что треугольник ВНN – прямоугольный, так как НN параллельна АА₁, а значит перпендикулярна плоскости АВС и любой прямой лежащей в этой плоскости. Из треугольника ВНN по теореме Пифагора ВN²=ВН² + NН² = 27 + 36 = 63.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник АВМ. По теореме Пифагора ВМ²=АВ² + АМ² = 36 + 9 = 45. А из прямоугольного треугольника А₁МN по теореме Пифагора МN²=А₁М² + А₁N² = 9 + 9 = 18.

По результатам наших вычислений получилось, что в треугольнике ВМN квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других сторон, ВN²=ВМ² + NМ² , 63 = 45 + 18. По теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник ВМN – прямоугольный с прямым углом ВМN. Первое утверждение доказано.

б) проведём перпендикуляр NР к прямой А₁В₁. Тогда имеем, что отрезок NР перпендикулярен к А₁В₁ и к АА₁ (так как АА₁ перпендикулярен к плоскости А₁В₁С₁, а значит и к любой прямой лежащей в этой плоскости). Следовательно, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, NР перпендикулярен плоскости АВВ₁. Поэтому МР – проекция прямой МN на плоскость АВВ₁.

Прямая ВМ перпендикулярна МN, тогда по теореме о трёх перпендикулярах она перпендикулярна МР. Следовательно, угол NМР – линейный угол двугранного угла NМВР, образованного плоскостями ВМN и АВВ₁. Его и надо найти.

Проведём С₁К – высоту треугольника А₁В₁С₁, она равна высоте треугольника АВС, а её мы нашли С₁К = ВН = 3* корень из 3. Перпендикуляр NР является средней линией треугольника С₁КА₁ и равен половине С₁К. NР = 0,5*3* корень из 3. МN нами уже найдено, МN = 3* корень из 2.

Значит sin NMP = NP/NM.

Ответ: б) arcsin(корень из 3/8).

В критериях оценивания этой задачи сказано, что 2 балла даётся если обоснованно получены верные ответы в пунктах а и б. Один балл сдающий получает, если верно решён один из этих пунктов.