Поднимаем планку.

5 этап. «Поднимаем планку».  Тест. 10-11 классы.

Задания от Совокупа Перестановкина.

Ну, вот мы и добрались до последнего сложного теста, состоящего из текстовых задач и задач по планиметрии. Задания сложнее, но посильны. Первые десять задач взяты из открытого банка заданий ЕГЭ по математике. С предыдущими работами команды справились уверенно, поэтому и здесь всё будет хорошо. Задачи геометрии помогут увереннее работать на едином государственном экзамене с заданиями С4. Удачи вам!

1.     Ёмкость высоковольтного конденсатора в телевизоре С = 4×10^-6 Ф. Параллельно с конденсатором подключён резистор с сопротивлением R = 3×10⁶ Ом. Во время работы телевизора напряжение на конденсаторе U₀ = 32 кВ. После выключения телевизора напряжение на конденсаторе убывает до значения U (кВ) за время, определяемое выражением t = aRC log₂(U₀/U) (с), где a = 1,8 — постоянная. Определите наибольшее возможное напряжение на конденсаторе, если после выключения телевизора прошло не менее 64,8 с. Ответ дайте в кВ (киловольтах).

2.     Для обогрева помещения, температура в котором равна T_П = 15°С, через радиатор отопления, пропускают горячую воду температурой T_В = 75°С . Расход проходящей через трубу воды m = 0,4 кг/с. Проходя по трубе расстояние x (м), вода охлаждается до температуры T(°С ), причём x = acm/g log₂((T_В - T_П )/( T - T_П)) (м), где c = 4200 Дж/(кг×°С) — теплоёмкость воды, g = 21Вт/(м×°С) — коэффициент теплообмена, а a = 1,6 — постоянная. До какой температуры (в градусах Цельсия) охладится вода, если длина трубы 128 м?

3.     Деталью некоторого прибора является квадратная рамка с намотанным на неё проводом, через который пропущен постоянный ток. Рамка помещена в однородное магнитное поле так, что она может вращаться. Момент силы Ампера, стремящейся повернуть рамку, (в Н м) определяется формулой M = NIBl² sina, где I = 4 A — сила тока в рамке, B = 5×10^-3 Тл — значение индукции магнитного поля, l = 0,4 м — размер рамки, N = 1200 — число витков провода в рамке, a — острый угол между перпендикуляром к рамке и вектором индукции. При каком наименьшем значении угла a (в градусах) рамка может начать вращаться, если для этого нужно, чтобы раскручивающий момент M был не меньше 1,92 Н  м?

4.     Очень лёгкий заряженный металлический шарик зарядом q = 2×10^-6 Кл скатывается по гладкой наклонной плоскости. В момент, когда его скорость составляет v = 5 м/с, на него начинает действовать постоянное магнитное поле, вектор индукции B которого лежит в той же плоскости и составляет угол a с направлением движения шарика. Значение индукции поля , B = 5×10^-3  Тл. При этом на шарик действует сила Лоренца, равная F_Л =qvB sina  (Н) и направленная вверх перпендикулярно плоскости. При каком наименьшем значении угла a, лежащего на отрезке  [0°; 180°] шарик оторвётся от поверхности, если для этого нужно, чтобы сила F_Л была не менее чем 5×10^-8  Н? Ответ дайте в градусах.

5.     Небольшой мячик бросают под острым углом a к плоской горизонтальной поверхности земли. Расстояние, которое пролетает мячик, вычисляется по формуле L = (v₀)²sin2a|g (м), где v₀=18 м/с — начальная скорость мячика, а g — ускорение свободного падения (считайте g = 10 м/с ). При каком наименьшем значении угла (в градусах) мячик перелетит реку шириной 32,4 м?

6.     В понедельник акции компании подорожали на некоторое число процентов, а во вторник подешевели на то же самое число процентов. В результате они стали стоить на 4% дешевле, чем при открытии торгов в понедельник. На сколько процентов подорожали акции компании в понедельник?

7.     Семья состоит из мужа, жены и их дочери студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 67%. Если бы стипендия дочери уменьшилась втрое, общий доход семьи сократился бы на 4%. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены?

8.     Митя, Антон, Гоша и Борис учредили компанию с уставным капиталом 200000 рублей. Митя внес 14% уставного капитала, Антон  — 42000 рублей, Гоша  — 0,12 уставного капитала, а оставшуюся часть капитала внес Борис. Учредители договорились делить ежегодную прибыль пропорционально внесенному в уставной капитал вкладу. Какая сумма от прибыли 1000000 рублей причитается Борису? Ответ дайте в рублях.

9.     Смешав 30-процентный и 60-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 36-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 41-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 30-процентного раствора использовали для получения смеси?

10.          Вере надо подписать 640 открыток. Ежедневно она подписывает на одно и то же количество открыток больше по сравнению с предыдущим днем. Известно, что за первый день Вера подписала 10 открыток. Определите, сколько открыток было подписано за четвертый день, если вся работа была выполнена за 16 дней.

11.          В треугольнике АВС угол В в два раза больше угла А, а длина стороны ВС равна 40 см. Найдите длину биссектрисы ВD этого треугольника, если DC = 25 см.

12.         На гипотенузе прямоугольного треугольника взята точка, равноудалённая от катетов, которая разбивает гипотенузу на отрезки длиной 2 см и 6 см. Найдите высоту этого треугольника, проведённую из вершины прямого угла.

13.          В равнобедренном треугольнике высота, опущенная на основание, равна 20 см, а радиус вписанной окружности равен 4 см. Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.

14.          В равнобедренную трапецию вписана окружность радиусом 6 см. Большее основание этой трапеции равно 18 см, найдите меньшее основание.

15.          Две окружности одинакового радиуса 1,5 см касаются друг друга. Они находятся внутри третьей окружности и касаются её так, что диаметры всех трёх окружностей лежат на одной прямой. Найдите радиус четвёртой окружности, касающейся всех трёх данных окружностей.

Дорогие друзья! Удачи вам в выполнении последнего и самого сложного теста! Помните, что времени у вас на решение задач и отправку ответов немного. Только сегодня 29 апреля и завтра 30 апреля до 21 часа московского времени.

За каждое правильно решённое задание команда получает 2 балла.