В12 с решениями. Часть 1.

Решения задач из открытого банка заданий ЕГЭ по математике.

Задание B12 (№ 28059). Высота над землeй подброшенного вверх мяча меняется по закону h(t) = 1,4 +  9t – 5t², где h — высота в метрах, t — время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее 3 метров?

Решение. Чтобы ответить на вопрос, мы должны решить квадратное неравенство 1,4 +  9t – 5t² ³3. Перенесём все члены неравенства в правую часть, получим 5t² - 9t + 1,6 £0. Решая неравенство методом интервалов или с помощью эскиза параболы, другими способами, получим 0,2 £ t £ 1,6. То есть мяч через 0,2 секунды поднялся на высоту 3 метра и полетел выше, в момент t =1,6 секунды он вернулся на высоту 3 метра. Ответ 1,6 – 0,2 = 1,4.

Задание B12 (№ 28039). После дождя уровень воды в колодце может повыситься. Мальчик измеряет время t падения небольших камешков в колодец и рассчитывает расстояние до воды по формуле h = 5t², где h — расстояние в метрах, t — время падения в секундах. До дождя время падения камешков составляло 1,2 с. На сколько должен подняться уровень воды после дождя, чтобы измеряемое время изменилось на 0,1 с? Ответ выразите в метрах.

Решение. Чтобы ответить на вопрос, мы должны найти на каком уровне была вода в колодце до дождя,  h(1,2) =5× 1,2² =7,2 метра. Поскольку уровень воды в колодце после дождя повысится, то время падения камешков уменьшится 1,2 – 0,1 =1,1. Найдём уровень воды соответствующий этому времени падения камешка,  h(1,1) =5× 1,1² =6,05 метра. Ответ 7,2 – 6,05 = 1,15.

Задание B12 (№ 28101). Камнеметательная машина выстреливает камни под некоторым острым углом к горизонту. Траектория полёта камня описывается формулой y = ax² + bx, где a = - 0,01 м^-1, b= 0,8 — постоянные параметры, x (м) — смещение камня по горизонтали, y (м) — высота камня над землёй. На каком наибольшем расстоянии (в метрах) от крепостной стены высотой 14 м нужно расположить машину, чтобы камни пролетали над стеной на высоте не менее 1 метра?

Решение. Чтобы ответить на вопрос, мы должны решить квадратное неравенство -0,01х² + 0,8х ³15. Перенесём все члены неравенства в правую часть, получим 0,01х² – 0,8х+ 15 £0. Решая неравенство методом интервалов или другими способами, получим 30 £ х £ 50. То есть, если мы расположим машину на расстоянии от 30 до 50 метров, то камни будут пролетать над стеной на 1 метр выше и более. Ответ 50.

Задание B12 (№ 28153). Автомобиль, движущийся в начальный момент времени со скоростью v₀ = 18 м/с, начал торможение с постоянным ускорением a = 4 м/с. За t секунд после начала торможения он прошёл путь S = v₀ t - at²/2  (м). Определите время, прошедшее от момента начала торможения, если известно, что за это время автомобиль проехал 36 метров. Ответ выразите в секундах.

Решение. Чтобы ответить на вопрос, мы должны решить квадратное уравнение  18t – 4t²/2 =36. Перенесём все члены уравнения в правую часть, получим 2t² - 18t + 36 =0. Разделим обе части уравнения на 2, получим t² - 9t + 18 =0. Корни этого уравнения 3 и 6. То есть через 3 секунды автомобиль уже преодолел 36 метров. Ответ 3.

 

Задание B12 (№ 28335). Скорость автомобиля, разгоняющегося с места старта по прямолинейному отрезку пути длиной l км с постоянным ускорением aкм/ч², вычисляется по формуле v² = 2la. Определите наименьшее ускорение, с которым должен двигаться автомобиль, чтобы, проехав 0,4 километра, приобрести скорость не менее 100 км/ч. Ответ выразите в км/ч.

Решение. Мы должны решить уравнение  100² =2×0,4 a. Отсюда a= 10000:0,8 = 12500. Ответ 12500.

Задание B12. Зависимость температуры (в градусах Кельвина) от времени для нагревательного элемента некоторого прибора была получена экспериментально. На исследуемом интервале температур вычисляется по формуле T(t) = T₀ + bt + at² , где t — время в минутах, T₀ =800 К, a = -25 К/мин, b = 325 К/мин. Известно, что при температуре нагревателя свыше 1700 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Определите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. Ответ выразите в минутах.

Решение. Чтобы ответить на вопрос, мы должны подставить все известные коэффициенты и решить квадратное уравнение  1700 = 800 +325t – 25t² . Перенесём все члены уравнения в левую часть, получим 25t² - 325t + 900 =0. Разделим обе части уравнения на 25, получим t² - 13t + 36 =0. Корни этого уравнения 4 и 9. То есть через 4 секунды нагреватель достигнет температуры 1700К и его необходимо отключить. Ответ 4.