На пересечении с физикой. Тест. 10-11 классы.

3 этап. На пересечении с физикой.  Тест. 10-11 классы.

Задания от Совокупа Перестановкина.

Мне часто приходится слышать возмущения учащихся и родителей по поводу задач с физическим содержанием на ЕГЭ по математике.  А как вообще можно разделить математику и физику? Задачи на движение к какой науке отнести? Если движение из пункта А в пункт В, то это математика. Это мы на математике с начальных классов решаем.  А колебательные движения – это уж точно физика. Но ведь там тоже время, скорость, пройденный путь. Даже математический маятник есть.  Невозможно разделить математику и физику, они друг без друга не могут. Мы знаем с вами законы Ньютона по физике и бином Ньютона , формулу Ньютона-Лейбница по математике.  Вот мы и предлагаем вам серию задач с физическим содержанием из открытого банка заданий ЕГЭ по математике. Решать-то их надо с помощью математики.

Начнём с привычных для нас задач на движение.

1.     Из курса механики мы знаем, что скорость автомобиля, разгоняющегося с места старта по прямолинейному отрезку пути длиной l км с постоянным ускорением а км/ч², вычисляется по формуле v² = 2la . Попробуйте определить наименьшее ускорение в км/ч², с которым должен двигаться автомобиль, чтобы, проехав 0,4 километра, приобрести скорость не менее 70 км/ч.

2.     Разогнались, прокатились, приехали, тормозим. Пусть мы двигались с постоянной скоростью v₀ = 22 м/с и начали торможение с постоянным ускорением a = 4 м/с2. За t секунд после начала торможения мы проехали путь S = v₀ t - at²/2  (м). Необходимо определить время, прошедшее от момента начала торможения, если известно, что за это время автомобиль проехал 36 метров. Ответ выразите в секундах.

3.     Теперь пересядем на мотоцикл и будем двигаться по городу со скоростью v₀ = 60 км/ч до тех пор, пока не выедем из него. Сразу после выезда, почувствовав простор, начнём разгоняться с постоянным ускорением  a = 80 км/ч2. Вспомним, что расстояние от мотоцикла до города, измеряемое в километрах, определяется выражением  S = v₀ t + at²/2. Необходимо определить наибольшее время, в течение которого мотоцикл будет находиться в зоне функционирования сотовой связи, если оператор гарантирует покрытие на расстоянии не далее чем в 40 км от города. Ответ выразите в минутах.

4.     Теперь усложним формулировку (это не значит, что решение станет сложнее), введём в задачу силу. Пусть автомобиль, масса которого равна m = 1900 кг, начинает двигаться с ускорением, которое в течение t секунд остаётся неизменным, и проходит за это время путь S = 900 метров. Значение силы (в ньютонах), приложенной в это время к автомобилю, равно F = 2mS/t² . Определите наибольшее время после начала движения автомобиля, за которое он пройдёт указанный путь, если известно, что сила F, приложенная к автомобилю, не меньше 1368 Н. Ответ выразите в секундах.

5.     Рассмотрим пару задач на движение вверх. Очень часто встречаются в сборниках по подготовке к ЕГЭ по математике задачи о подбрасывании мячей или других предметов. Пусть высота над землёй подброшенного вверх мяча меняется по закону h(t) = 2 + 12t – 5t² , где h — высота в метрах, t — время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее 9 метров?

6.     Следующая задача скорее для воина Древнего мира, в котором для осады городов использовались машины для метания камней. Вот такая машина выстреливает камни под некоторым острым углом к горизонту. Траектория полёта камня описывается формулой  y = ax² + bx, где a = - 0,005 м^-1, b= 0,75 ,  - постоянные параметры, x (м) - смещение камня по горизонтали, y (м) - высота камня над землёй. На каком наибольшем расстоянии (в метрах) от крепостной стены высотой 12 м нужно расположить машину, чтобы камни пролетали над стеной на высоте не менее 1 метра?

7.     Но кидать предметы можно те только вверх, но и в низ. Например, для измерения высоты здания, глубины ямы или колодца. После дождя уровень воды в колодце может повыситься. Молодой человек измеряет время t падения небольших камешков в колодец и рассчитывает расстояние до воды по формуле h = 5t² , где h — расстояние в метрах, t — время падения в секундах. До дождя время падения камешков составляло 0,7 с. На сколько метров должен подняться уровень воды после дождя, чтобы измеряемое время изменилось на 0,2 с?

8.     Теперь движение по окружности. Вы уже наверняка знаете, что если достаточно быстро вращать ведёрко с водой на верёвке в вертикальной плоскости, то вода не будет выливаться. При вращении ведёрка, сила давления воды на дно не остаётся постоянной. Она будет максимальной в нижней точке и минимальной в верхней. Вода не будет выливаться, если сила её давления на дно будет положительной во всех точках траектории кроме верхней, где она может быть равной нулю. В верхней точке сила давления, выраженная в ньютонах, равна P = m(v²/L – g), где m — масса воды в килограммах, v — скорость движения ведёрка в м/с, L — длина верёвки в метрах, g - ускорение свободного падения (считайте g = 10 м/с2). С какой наименьшей скоростью надо вращать ведёрко, чтобы вода не выливалась, если длина верёвки равна 115,6 см? Ответ выразите в м/с.

9.     Хорошо нам известны и задачи о заполнении бассейнов, других ёмкостей двумя или более трубами. Рассмотрим задачу на вытекание. В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплён кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нём, выраженная в метрах, меняется по закону H(t) = at² + bt + H₀, где H₀ = 5м - начальный уровень воды, a = 1/320 м/мин², и b=-1/4 м/мин - постоянные, t - время в минутах, прошедшее с момента открытия крана. Сколько времени вода будет вытекать из бака? Ответ приведите в минутах.

10.          Каждый из нас знает, что такое горизонт. Но не все знают, что расстояние до линии горизонта можно вычислить, и это расстояние от наблюдателя, находящегося на небольшой высоте h километров над землёй, до наблюдаемой им линии горизонта вычисляется по формуле l² = 2Rh, где R = 6400 (км) — радиус Земли. На какую высоту необходимо подняться, чтобы горизонт был виден на расстоянии 6,4 километра? Ответ выразите в километрах.

11.          Без электричества мы сегодня как без рук. Часто пользуемся нагревательными приборами, например для обогрева помещений. Выбираем более надёжные приборы, чтобы в случае перегрева отключались сами. А это всё должны рассчитывать изготовители. Так зависимость температуры (в градусах Кельвина) от времени для нагревательного элемента электрического обогревателя была получена экспериментально. На исследуемом интервале температура вычисляется по формуле T(t) = T₀ + bt + at² , где t — время в минутах, T₀ =1120 К, a = -10 К/мин, b = 90 К/мин. Известно, что при температуре нагревателя свыше 1300 К обогреватель может испортиться, поэтому его нужно отключить. Определите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить обогреватель. Ответ выразите в минутах.

12.          Если заговорили об электричестве, как же без закона Ома. Согласно ему  сила тока в цепи I (в амперах) определяется напряжением в цепи и сопротивлением электроприбора: I = U/R , где U — напряжение в вольтах, R — сопротивление электроприбора в омах. В электросеть включён предохранитель, который плавится, если сила тока превышает 1 А. Необходимо определить, какое минимальное сопротивление должно быть у электроприбора, подключаемого к розетке в 220 вольт, чтобы сеть продолжала работать. Ответ выразите в омах.

13.          А вот по закону Ома для полной цепи сила тока, измеряемая в амперах, равна I = e/(R + r), где e — ЭДС источника (в вольтах), r - его внутреннее сопротивление, R — сопротивление цепи (в омах). Пусть r = 3 Ом.  Определите при каком наименьшем сопротивлении цепи сила тока будет составлять не более 8% от силы тока короткого замыкания I_кз = e/r? (Ответ выразите в омах.)

14.          Продолжим тему электричества. У нас возникла необходимость к источнику питания с ЭДС e = 80 В и внутренним сопротивлением r = 0,7 Ом, подключить прибор с сопротивлением R Ом. Напряжение на этом приборе, выражаемое в вольтах, задаётся формулой U = eR/(R + r) . При каком наименьшем значении сопротивления прибора напряжение на нём будет не менее 70 В? Ответ выразите в омах.

15.          Любимым моим занятием на уроках по электричеству было рисование схем параллельного и последовательного соединения приборов в цепи. И формулы все выучил. Вот одну из них мы сейчас вспомним.  В розетку электросети подключены приборы, общее сопротивление которых составляет R₁ = 70 Ом. Параллельно с ними в розетку предполагается подключить электрообогреватель. Определите наименьшее возможное сопротивление R₂ этого электрообогревателя, если известно, что при параллельном соединении двух проводников с сопротивлениями R₁ Ом и R₂ Ом их общее сопротивление даётся формулой R_общ = R₁ R₂/( R₁ + R₂) (Ом), а для нормального функционирования электросети общее сопротивление в ней должно быть не меньше 20 Ом. Ответ выразите в омах.

16.          Полезно формулы из физики и математические расчёты применять и при строительстве. Например, для поддержания навеса планируется использовать цилиндрическую колонну. Давление P (в паскалях), оказываемое навесом и колонной на опору, определяется по формуле P = 4mg/(pD²), где m = 2100 кг — общая масса навеса и колонны, D — диаметр колонны (в метрах). Считая ускорение свободного падения g = 10 м/с, а p = 3, определите наименьший возможный диаметр колонны, если давление, оказываемое на опору, не должно быть больше 700000 Па. Ответ выразите в метрах.

17.          А вот при строительстве железных дорог обязательно надо учитывать тепловое расширение материалов, рельсов, и оставлять необходимые промежутки . При температуре 0°C рельс имеет длину l₀ = 12,5 м. При возрастании температуры происходит тепловое расширение рельса, и его длина, выраженная в метрах, меняется по закону l(t°) = l₀ (1 + a×t°), где a = 1,2×10^-5(°C)^-1 – коэффициент теплового расширения, t° - температура (в градусах Цельсия). Определите, при какой температуре рельс удлинится на 4,5 мм? Ответ выразите в градусах Цельсия.

18.          Теперь необходима помощь моему соседу, большому умельцу. Он практически уже изготовил станок для работы с деревом. Деталью этого станка является вращающаяся катушка. Она состоит из трёх однородных соосных цилиндров: центрального массой m = 11 кг и радиуса R = 4 см, и двух боковых с массами M = 6 кг и с радиусами R + h. При этом момент инерции катушки относительно оси вращения, выражаемый в кг×см², даётся формулой I = (m + 2M)R²/2 + M(2Rh + h²). При каком максимальном значении h момент инерции катушки не превышает предельного значения 472 кг×см²? Ответ выразите в сантиметрах.

19.          У этого же соседа имеется интересный двигатель. Из курса физики мы помним формулу для нахождения коэффициента полезного действия двигателя (КПД) h = (T₁ – T₂)/T₁×100%, где T₁ – температура нагревателя (в градусах Кельвина), T₂ – температура холодильника (в градусах Кельвина). Определите при какой минимальной температуре нагревателя T₁ КПД двигателя соседа будет не меньше 60%, если температура холодильника T₂ = 272 К? Ответ выразите в градусах Кельвина.

20.          А ещё сосед большой любитель астрономии, он даже знает, что для определения эффективной температуры звёзд используют закон Стефана–Больцмана, согласно которому мощность излучения нагретого тела P, измеряемая в ваттах, прямо пропорциональна площади его поверхности и четвертой степени температуры: P = sST⁴, где s =5,7×10^-8  - постоянная, площадь S измеряется в квадратных метрах, а температура T — в градусах Кельвина. Сможете ли вы используя эту формулу решить следующую задачу. Известно, что некоторая звезда имеет площадь S = 10²⁰/9 м, а излучаемая ею мощность P не менее 8,208×10²⁶ Вт. Определите наименьшую возможную температуру этой звезды. Приведите ответ в градусах Кельвина.