Конкурс решения задач ЕГЭ. 7 этап.

Готовимся к ЕГЭ 2011. Конкурс решения задач.

Внимание!

Ответы высылать на адрес krolvik@gmail.com. Высылать только ответы! Указывайте номер этапа, номер задания и ответ. Ответы принимаются до 7 мая!

Помните: учитываются время и правильность решения.

Победители, 10% от количества участников, награждаются дипломами. Участники, набравшие более 50% баллов, получают сертификаты.

7 этап. Решение задач уровня В10.

1. При температуре 0°рельс имеет длину l₀ =10 м. При возрастании температуры происходит тепловое расширение рельса, и его длина, выраженная в метрах, меняется по закону l(t°) = l₀(1+a∙ t°), где a = 1,2∙ 10^-5(°C)^-1 — коэффициент теплового расширения, t° — температура (в градусах Цельсия). При какой температуре рельс удлинится на 3 мм? Ответ выразите в градусах Цельсия.

2. Некоторая компания продает свою продукцию по цене p = 500 руб. за единицу, переменные затраты на производство одной единицы продукции составляют v = 300 руб., постоянные расходы предприятия f = 700000 руб. в месяц. Месячная операционная прибыль предприятия (в рублях) вычисляется по формуле p(q) = q(p – v) -f. Определите наименьший месячный объем производства q (единиц продукции), при котором месячная операционная прибыль предприятия будет не меньше 300000 руб.

3. После дождя уровень воды в колодце может повыситься. Мальчик измеряет время t падения небольших камешков в колодец и рассчитывает расстояние до воды по формуле h= 5t², где h — расстояние в метрах, t — время падения в секундах. До дождя время падения камешков составляло 0,6 с. На сколько должен подняться уровень воды после дождя, чтобы измеряемое время изменилось на 0,2 с? Ответ выразите в метрах.

4. Зависимость объема спроса q (единиц в месяц) на продукцию предприятия-монополиста от цены p  (тыс. руб.) задается формулой q = 100 – 10p. Выручка предприятия за месяц r (в тыс. руб.) вычисляется по формуле r(p) = q ∙ p. Определите наибольшую цену p, при которой месячная выручка r(p) составит не менее 240 тыс. руб. Ответ приведите в тыс. руб.

5. Высота над землeй подброшенного вверх мяча меняется по закону h(t) = 1,6 + 8t -5t², где h — высота в метрах, t — время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее трех метров?

6. В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплeн кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нeм, выраженная в метрах, меняется по закону H(t) = at² + bt +H₀, где H₀ =4 м — начальный уровень воды, a = 0,01 м/мин², и b = -0,4 м/мин — постоянные, t — время в минутах, прошедшее с момента открытия крана. В течение какого времени вода будет вытекать из бака? Ответ приведите в минутах.

7. Камнеметательная машина выстреливает камни под некоторым острым углом к горизонту. Траектория полeта камня описывается формулой y = ax² +bx, где,

a = -0,01  м ^-1, b =1 — постоянные параметры, x (м) — смещение камня по горизонтали, y (м) — высота камня над землeй. На каком наибольшем расстоянии (в метрах) от крепостной стены высотой 8 м нужно расположить машину, чтобы камни пролетали над стеной на высоте не менее 1 метра?

8. Зависимость температуры (в градусах Кельвина) от времени для нагревательного элемента некоторого прибора была получена экспериментально. На исследуемом интервале температур вычисляется по формуле T(t) = T₀ +bt +at², где t — время в минутах, T₀ =1400 К, a = -10 К/мин², b =200 К/мин. Известно, что при температуре нагревателя свыше 1760 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Определите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. Ответ выразите в минутах.

9. Мотоциклист, движущийся по городу со скоростью v₀ =57 км/ч, выезжает из него и сразу после выезда начинает разгоняться с постоянным ускорением a =12 км/ч. Расстояние от мотоциклиста до города, измеряемое в километрах, определяется выражением  S = v₀ + 0,5at². Определите наибольшее время, в течение которого мотоциклист будет находиться в зоне функционирования сотовой связи, если оператор гарантирует покрытие на расстоянии не далее чем в 30 км от города. Ответ выразите в минутах.

10. На верфи инженеры проектируют новый аппарат для погружения на небольшие глубины. Конструкция имеет кубическую форму, а значит, действующая на аппарат выталкивающая (архимедова) сила, выражаемая в ньютонах, будет определяться по формуле: F_A = ρgl³, где l — длина ребра куба в метрах, ρ =1000 кг/м³ — плотность воды, а g — ускорение свободного падения (считайте g =9,8 Н/кг). Какой может быть максимальная длина ребра куба, чтобы обеспечить его эксплуатацию в условиях, когда выталкивающая сила при погружении будет не больше, чем 78400 Н? Ответ выразите в метрах.