Страницы блога

вторник, 14 ноября 2017 г.

Доказано тремя способами



Рассмотрим три способа решения одной задачи по геометрии повышенной сложности, такие задачи на ОГЭ идут под номером 25, на доказательство.
Задача. Две окружности с центрами К и Р пересекаются в точках В и С, центры К и Р лежат по одну сторону относительно прямой ВС. Доказать, что прямая ВС перпендикулярна прямой КР.
Доказательство.
1 способ. (Используем свойства равнобедренного треугольника) Соединим центры К и Р с точками пересечения окружностей В и С. Треугольник КВС – равнобедренный, так как КВ и КС – радиусы окружности с центром К. Из точки К проведем перпендикуляр КН к прямой ВС. По свойству равнобедренного треугольника КН является и медианой, то есть ВН=НС.
Треугольник РВС – тоже равнобедренный, так как РВ и РС – радиусы окружности с центром Р. Соединим точки Р и Н, РН – медиана треугольника РВС. По свойству равнобедренного треугольника РН является и высотой. Но через точку Н можно провести только одну прямую, перпендикулярную прямой ВС. Значит прямая КР проходит через точку Н и перпендикулярна ВС. Что и требовалось доказать.


2 способ. (Используем свойства серединного перпендикуляра) Соединим центры К и Р с точками пересечения окружностей В и С. КВ = КС – радиусы окружности с центром К. Точка К равноудалена от концов отрезка ВС, значит она лежит на серединном перпендикуляре к отрезку ВС. РВ и РС – радиусы окружности с центром Р. Точка Р тоже равноудалена от концов отрезка ВС, значит она лежит на серединном перпендикуляре к отрезку ВС. Но к отрезку ВС можно провести только один серединный перпендикуляр, значит прямая КР перпендикулярна ВС и проходит через его середину Н. Что и требовалось доказать.


3 способ. (Используем свойства радиуса, проведенного перпендикулярно хорде) Проведем радиус РЕ перпендикулярно хорде ВС, тогда он делит хорду пополам, Н – середина ВС.
Проведем радиус КМ перпендикулярно хорде ВС, тогда он делит хорду пополам, значит он тоже проходит через точку Н. Но через точку Н можно провести только одну прямую, перпендикулярную прямой ВС. Значит центры К и Р лежат на этой прямой. Что и требовалось доказать.

Комментариев нет:

Отправить комментарий