И опять пишут числа на доске

 Задания под номером 19 в ЕГЭ 2016 года связаны со свойствами чисел. Сложные, но решать их вполне можно. Попробуйте. За полное решение можно заработать 4 первичных балла.

Задание 1. На доске написали несколько не обязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной 363. Затем в каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры (например, число 17 заменили числом 71).

а) Приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся чисел ровно в 4 раза больше, чем сумма исходных чисел.

б) Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в 2 раза больше, чем сумма исходных чисел?

в) Найдите наибольшее возможное значение суммы получившихся чисел.

Решение.

а) Допустим, что на доске были записаны числа 10a₁+b₁, 10a₂+b₂, …, 10a_n+b_n, где a₁, b₁, a_2, b₂, …, a_n, b_n – соответствующие цифры этих чисел. Пусть А= a₁+ a₂+ …+ a_n, B = b₁+ b₂+…+ b_n.  Тогда по условию сумма записанных на доске чисел 10a₁+b₁+10a₂+b₂+…+10a_n+b_n = 10A+B=363. А сумма после перестановки цифр будет 10b₁+a₁+10b₂+a₂+…+10b_n+a_n = 10B+A=1452 ( так как 363*4=1452).

Имеем два уравнения с двумя неизвестными

10A+B=363,

10B+A=1452, сложив эти уравнения получаем

11А+11В=1815, обе части делим на 11,

A+B=165. Сумма цифр, из которых состоят все числа должна равняться 165. Но мы ещё можем уточнить, выразив B=165-А и подставив в первое уравнение.

10*A+165– А =363, 9А=198, А=22, В=143. То есть сумма вторых цифр в записанных числах должна быть более чем в шесть раз больше суммы первых цифр. Числа находим методом подбора. Условию соответствует случай, когда на доске написано 20 раз число 17 и число 23. Их сумма равна 363.

После перестановки цифр на доске будет написано 20 раз число 71 и число 32. Их сумма равна 1452. 1452=363*4.

б) Так как вторая сумма должна быть в 2 раза больше, получаем

два уравнения с двумя неизвестными

10A+B=363,

10B+A=726, сложив эти уравнения получаем

11А+11В=1089, обе части делим на 11,

A+B=99. Выразив B=99-А и подставив в первое уравнение.

10A+99– А =363, 9А=264, А=264:9=88:3, это дробное число. Противоречие, так как сумма цифр не может быть дробной.

в) Нам необходимо найти наибольшее значение суммы S= 10B+A=10(363 – А)+А = 3630 – 10А+А= 3630 – 99А.

Так как b₁£ 9a₁, b₂£ 9a₂,…, b_n£ 9a_n, то В£ 9А. Тогда из равенства

10A+B=363 получаем неравенство 10А + 9А³ 363, или 19А³ 363, А³ 363: 19>19. То есть самое маленькое значение, которое может принимать А=20. А самое большое значение суммы

S= 3630 – 99А=3630 – 1980 = 1650.

Итак, наибольшее возможное значение суммы получившихся чисел 1650. Учтём, что наибольшее увеличение при перемене местами цифр даёт число 19. Представляем 363=19*18 +21, после перестановки цифр получаем 91*18 +12=1650.

Ответ а) 20 раз число 17 и число 23.

б) нет

в) 1650.

Задания для самостоятельного решения.

Задание 1. На доске написали несколько не обязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной 330. Затем в каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры (например, число 17 заменили на число 71).

а) Приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся чисел ровно в 4 раза больше, чем сумма исходных чисел.

б) Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в 3 раза больше, чем сумма исходных чисел?

в) Найдите наибольшее возможное значение суммы получившихся чисел.

Задание 2. На доске написали несколько не обязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной 264. Затем в каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры (например, число 17 заменили на число 71).

а) Приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся чисел ровно в 4 раза больше, чем сумма исходных чисел.

б) Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в 2 раза больше, чем сумма исходных чисел?

в) Найдите наибольшее возможное значение суммы получившихся чисел.

Задание 3. На доске написали несколько не обязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной 2376. В каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры (например, число 16 заменили на число 61).

а) Приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся чисел ровно в 3 раза меньше, чем сумма исходных чисел.

б) Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в 6 раз меньше, чем сумма исходных чисел?

в) Найдите наименьшее возможное значение суммы получившихся чисел.

Задание 4. На доске написали несколько не обязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной 1782. В каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры (например, число 16 заменили на число 61).

а) Приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся чисел ровно в 3 раза меньше, чем сумма исходных чисел.

б) Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в 5,5 раза меньше, чем сумма исходных чисел?

в) Найдите наименьшее возможное значение суммы получившихся чисел.

Задание 5. На доске написали несколько не обязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной 2970. В каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры (например, число 16 заменили на число 61).

а) Приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся чисел ровно в 3 раза меньше, чем сумма исходных чисел.

б) Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в 5 раз меньше, чем сумма исходных чисел?

в) Найдите наименьшее возможное значение суммы получившихся чисел.