Найдите объём многогранника

Задание 1. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются вершины A, C, D, F, A₁, C₁, D₁, F₁ правильной шестиугольной призмы ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁, площадь основания которой равна 9, а боковое ребро равно 11.

Решение. По чертежу видим, что необходимо найти объём прямоугольного параллелепипеда ACDFA₁C₁D₁F₁. Осталось понять, какую часть площади основания (то есть правильного шестиугольника ABCDEF составляет прямоугольник ACDF. Для этого соединим отрезками вершины шестиугольника с его центром, получим 6 равных

равносторонних треугольников (в правильном шестиугольнике сторона равна радиусу описанной окружности, отрезки ОА, ОВ, ОС, OD, OE, OF являются радиусами описанной окружности). Теперь видно, что площадь прямоугольника ACDF составляет четыре шестых или две третьих площади шестиугольника, то есть S_ACDF=2/3S_ABCDEF=2/3*9=6. Значит объём многогранника равен 6*11=66.

Ответ 66.

Задание 2. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются вершины A₁, B₁, F₁, A правильной шестиугольной призмы ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁, площадь основания которой равна 12, а боковое ребро равно 15.

Решение. По чертежу видим, что необходимо найти объём треугольной пирамиды A₁B₁F₁A, высота этой пирамиды равна высоте исходной шестиугольной призмы, то есть боковому ребру АА₁=15. Теперь заметим, что площадь треугольника  A₁B₁F₁ составляет шестую часть площади основания правильного шестиугольника ABCDEF и равна 2. Значит, объём пирамиды A₁B₁F₁A равен 2*15/3=10.

Ответ 10.

Задание 3. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки C, A₁, B₁, C₁ правильной треугольной призмы ABCA₁B₁C₁, площадь основания которой равна 4, а боковое ребро равно 9.

Решение. По чертежу видим, что необходимо найти объём треугольной пирамиды CA₁B₁C₁, высота этой пирамиды равна высоте исходной треугольной призмы, то есть боковому ребру АА₁=9. Теперь заметим, что площадь треугольника  A₁B₁С₁ равна площади основания призмы и равна 4. Значит, объём пирамиды CA₁B₁C₁ равен 4*9/3=12.

Ответ 12.

Задания для самостоятельного решения.

1.      Найдите объём многогранника, вершинами которого являются вершины C, D, E, C1, D1, E1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1, площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 14.

2.      Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки A, B, F, A1, B1, F1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1, площадь основания которой равна 8, а боковое ребро равно 15.

3.      Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, D, E, F, D1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1, площадь основания которой равна 5, а боковое ребро равно 9.

4.      Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки D, A1, B1, C1, D1, E1, F1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1, площадь основания которой равна 12, а боковое ребро равно 2.

5.      Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, D, E, F, D1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1, площадь основания которой равна 8, а боковое ребро равно 6.

6.      Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки D, E, F, D1, E1, F1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1, площадь основания которой равна 8, а боковое ребро равно 9.

7.      Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки B, C, D, B1, C1, D1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1, площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 12.

8.      Найдите объём многогранника, вершинами которого являются вершины A, C, A1, B1, C1 правильной треугольной призмы ABCA1B1C1. Площадь основания призмы равна 7, а боковое ребро равно 9.

9.      Найдите объём многогранника, вершинами которого являются вершины A, C, A1, B1 правильной треугольной призмы ABCA1B1C1. Площадь основания призмы равна 9, а боковое ребро равно 4.

10.  Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, C1 правильной треугольной призмы ABCA1B1C1, площадь основания которой равна 7, а боковое ребро равно 6.

11.  Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, C1 правильной треугольной призмы ABCA1B1C1, площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 3.

12.  Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, A1  правильной треугольной призмы ABCA1B1C1, площадь основания которой равна 5, а боковое ребро равно 6.

13.  Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки C, A1, B1, C1 правильной треугольной призмы ABCA1B1C1, площадь основания которой равна 2, а боковое ребро равно 6.

14.  Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки A, A1, B1, C1 правильной треугольной призмы ABCA1B1C1, площадь основания которой равна 3, а боковое ребро равно 9.

15.  Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, C1 правильной треугольной призмы ABCA1B1C1, площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 9.