Сечение правильной четырехугольной пирамиды

 

Решение задания 14 варианта 28 (ЕГЭ. Математика. Профильный уровень : типовые экзаменационные варианты : 36 вариантов / под ред. И.В. Ященко. – Москва : Издательство «Национальное образование», 2025. – 224 с.)

 14. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды SABCD относится к боковому ребру как 1:Ö2. Через вершину D проведена плоскость α, перпендикулярная боковому ребру SB и пересекающая его в точке М.

а) Докажите, что сечение пирамиды SABCD плоскостью α — это четырехугольник, диагонали которого перпендикулярны.

б) Найдите площадь этого сечения, если боковое ребро пирамиды равно 6.

 

Решение.

а) Пусть SН — высота пирамиды SABCD. Пирамида правильная, значит Н — точка пересечения диагоналей квадрата ABCD. Так как ребро ВS перпендикулярно α, то ВS перпендикулярно любой прямой, лежащей в плоскости α. Следовательно, ВS перпендикулярно DМ. Обозначим точки пересечения плоскости α с ребрами АS и СS буквами К и N, соответственно. Тогда ВS перпендикулярно КМ и NМ.

Рассмотрим прямоугольные треугольники SМК и SМN. Они равны, так как имеют общий катет SМ, а углы КSМ и NSМ равны (пирамида SABCD правильная, значит треугольники SАВ и SВС равны). Следовательно SК= SN.

Треугольники SАС и SКN равнобедренные с общим углом КSN при вершине. SН – высота треугольника АSС, а значит и биссектриса угла КSN. Тогда SН перпендикулярна КN и пересекает ее в середине, в точке О. Из того, что прямая КN перпендикулярна наклонной SО, по теореме о трех перпендикулярах следует, что КN перпендикулярна прямой МО, которая является проекцией SО на плоскость α.

б) По условию SВ=SD=АВÖ2, но и диагональ квадрата ВD=АВÖ2. Следовательно треугольники SВD и SАС – равносторонние, со стороной 6. Так как О – точка пересечения медиан треугольника SВD, то КN : АС = SО : SН = 2 : 3. Значит КN = 4. По теореме Пифагора МD = 3Ö3. Так как диагонали четырехугольника КМND перпендикулярны, то его площадь S = 0,5* КN* МD = 0,5*4*3Ö3 = 6Ö3.

Ответ б) 6Ö3.