До меньшего основания трапеции

Из сборника «ОГЭ 2023.Математика. 50 вариантов. Типовые варианты экзаменационных заданий от разработчиков ОГЭ» под редакцией И.В. Ященко.

Вариант 8. Задание 25.

В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 80, а площадь равна 320, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.

Решение.

Если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны. Значит АВ+СD=ВС+АD=40. Так как трапеция равнобедренная, то АВ=СD=20.

Площадь трапеции рана произведению полусуммы оснований на высоту, то

320=0,5*( ВС+АD)*СН, отсюда 320=0,5*40*СН, СН=16.

СН, ВЕ и КР – высоты трапеции, КР проходит через точку пересечения диагоналей О.

Треугольники АВЕ и СНD равны, так как они прямоугольные, равны катеты ВЕ и СН, гипотенузы АВ и СD.

Из равенства треугольников АВЕ и СНD следует АЕ=НD. По теореме Пифагора катет НD равен квадратному корню из 20*20-16*16 = 144. НD=12. Отсюда ВС=(40-2*12)/2 = 8. Значит АD = 40 – 8 =32.

Далее, треугольники ОВС и ОАD подобны по 1 признаку (углы ВОС и АОD – вертикальные, углы ВСА и САD – накрестлежащие при параллельных ВС и АD и секущей АС). Значит ОС:ОА=ВС: АD=8:32=1:4.

Аналогично подобны треугольники КОС и РОА, значит КО:ОР=ОС:ОА=1:4.

Значит КО=СН:5=16:5=3,2.

Ответ 3,2.