Страницы блога

воскресенье, 18 декабря 2022 г.

До меньшего основания трапеции

Из сборника «ОГЭ 2023.Математика. 50 вариантов. Типовые варианты экзаменационных заданий от разработчиков ОГЭ» под редакцией И.В. Ященко.

Вариант 8. Задание 25.

В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 80, а площадь равна 320, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.

Решение.

Если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны. Значит АВ+СD=ВС+АD=40. Так как трапеция равнобедренная, то АВ=СD=20.

Площадь трапеции рана произведению полусуммы оснований на высоту, то

320=0,5*( ВС+АD)*СН, отсюда 320=0,5*40*СН, СН=16.

СН, ВЕ и КР – высоты трапеции, КР проходит через точку пересечения диагоналей О.

Треугольники АВЕ и СНD равны, так как они прямоугольные, равны катеты ВЕ и СН, гипотенузы АВ и СD.

Из равенства треугольников АВЕ и СНD следует АЕ=НD. По теореме Пифагора катет НD равен квадратному корню из 20*20-16*16 = 144. НD=12. Отсюда ВС=(40-2*12)/2 = 8. Значит АD = 40 – 8 =32.

Далее, треугольники ОВС и ОАD подобны по 1 признаку (углы ВОС и АОD – вертикальные, углы ВСА и САD – накрестлежащие при параллельных ВС и АD и секущей АС). Значит ОС:ОА=ВС: АD=8:32=1:4.

Аналогично подобны треугольники КОС и РОА, значит КО:ОР=ОС:ОА=1:4.

Значит КО=СН:5=16:5=3,2.

Ответ 3,2.

Комментариев нет:

Отправить комментарий