До меньшего основания трапеции

Из сборника «ОГЭ 2023.Математика. 50 вариантов. Типовые варианты экзаменационных заданий от разработчиков ОГЭ» под редакцией И.В. Ященко.

Вариант 8. Задание 25.

В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 80, а площадь равна 320, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.

Решение.

Если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны. Значит АВ+СD=ВС+АD=40. Так как трапеция равнобедренная, то АВ=СD=20.

Площадь трапеции рана произведению полусуммы оснований на высоту, то

320=0,5*( ВС+АD)*СН, отсюда 320=0,5*40*СН, СН=16.

СН, ВЕ и КР – высоты трапеции, КР проходит через точку пересечения диагоналей О.

Треугольники АВЕ и СНD равны, так как они прямоугольные, равны катеты ВЕ и СН, гипотенузы АВ и СD.

Найдите площадь параллелограмма

 

Из сборника «ОГЭ 2023.Математика. 50 вариантов. Типовые варианты экзаменационных заданий от разработчиков ОГЭ» под редакцией И.В. Ященко.

Вариант 6. Задание 25.

В параллелограмме ABCD проведена диагональ AC. Точка O является центром окружности, вписанной в треугольник ABC. Расстояния от точки O до точки A и прямых AD и AC соответственно равны 25, 17 и 7. Найдите площадь параллелограмма ABCD.

 Решение.

Построим параллелограмм АВСD и окружность, вписанную в треугольник АВС с центром О. По условию АО=25, ОН=17, ОК=7. Вспомним, что центр вписанной окружности треугольника - это точка пересечения его биссектрис, поэтому   АО, ВО и ОС – биссектрисы углов ВАС, АВС и ВСА. Радиусы ОК, ОЕ и ОР соответственно перпендикулярны касательным АС, АВ и ВС.

Диагонали и средняя линия трапеции

 Из сборника «ОГЭ 2023.Математика. 50 вариантов. Типовые варианты экзаменационных заданий от разработчиков ОГЭ» под редакцией И.В. Ященко.

Вариант 7. Задание 25.

Найдите площадь трапеции, диагонали которой равны 17 и 9, а средняя линия равна 5.

Решение. Построим трапецию АВСD с основаниями ВС и АD. Из условия АС=17, ВD =9. Так как средняя линия трапеции равна половине суммы оснований, то ВС+АD=5*2=10. Из вершины С трапеции проведем прямую, параллельную ВD, она пересечет прямую АD в точке Е. Получили параллелограмм ВСЕD, у которого ВС=DЕ, ВD=СЕ. Диагональ СD делит параллелограмм на два равных треугольника ВСD и СЕD. Значит площадь трапеции АВСD равна площади треугольника АСЕ, у которого АС=17, СЕ=9, АЕ = АD+DЕ = АD+ВС=2*5 = 10.

По формуле Герона находим площадь треугольника АСЕ.

Р=(17+9+10)/2 =18. Значит площадь треугольника АСЕ равна корню квадратному из произведения 18(18-17)(18-9)(18-10) = 18*1*9*8. Значит площадь треугольника АСЕ равна 36.

Ответ 36.