Трапеция, вписанная в окружность

 Рассмотрим задачу из учебника геометрии 8 класса, решение которой пригодится сдающим ЕГЭ по математике профильного уровня.

Задача. Диагональ равнобокой трапеции перпендикулярна боковой стороне, которая равна 12 см. Найдите среднюю линию трапеции, если радиус окружности, описанной около трапеции, равен 10 см.

Решение. При построении чертежа к задаче необходимо учесть, что если диагональ вписанной трапеции перпендикулярна боковой стороне, то большее основание является диаметром описанной окружности (прямой вписанный угол опирается на диаметр).

Итак, в равнобедренной трапеции ABCD боковая сторона АВ = 12 см, диаметр AD = 20 см. Треугольник ABD – прямоугольный, из вершины прямого угла проведем высоту ВН. Так как квадрат катета прямоугольного треугольника равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу. Таким образом АН = АВ*АВ/АD = 12*12/20 = 7,2 см. Тогда средняя линия трапеции MN = НD = 20 – 7,2 = 12,8 см.

Подобные задачи:

1.      Диагональ равнобедренной трапеции перпендикулярна боковой стороне. Вычислите радиус окружности, описанной около трапеции, если длина ее диагонали равна 12 см, а длина боковой стороны равна 9 см.

2.      Диагональ равнобедренной трапеции перпендикулярна боковой стороне. Найдите диагональ трапеции, если радиус описанной окружности равен 13 см, а боковая сторона - 10 см.

3.      Диагональ равнобокой трапеции перпендикулярна боковой стороне, а проекция этой диагонали на большее основание равна 10 см. Боковая сторона трапеции равна 12 см. Найдите высоту и основания трапеции.