Квадрат в треугольнике

Продолжим подготовку к ЕГЭ 2020 по математике. Рассмотрим решение задачи 16 в 46 варианте сборника контрольных измерительных материалов «ЕГЭ-2020. Математика. Профильный уровень. 50 вариантов. Типовые варианты экзаменационных заданий от разработчиков ЕГЭ». Под редакцией И.В. Ященко.

 

Задача 1. Вершины К и L квадрата KLMN с центром О лежат на стороне АВ треугольника АВС, а вершины М и N-на сторонах ВС и АС соответственно. Высота СН треугольника АВС проходит через точку О и пересекает отрезок MN в точке D, причём CD=DO=ОН.

а) Докажите, что треугольник АВС равнобедренный и прямоугольный.

б) Пусть прямая AD пересекает сторону ВС в точке Q. Найдите AQ, если сторона квадрата KL =1.

Решение. а) Рассмотрим треугольники NDC и NDO. Они прямоугольные, так как СН перпендикулярна АВ, а значит и MN (прямые АВ и MN параллельны, как прямые, содержащие противоположные стороны квадрата). Треугольники NDC и NDO имеют общий катет ND и равные по условию катеты DC и DO. Значит треугольники NDC и NDO равны. Аналогично, равны треугольники МDC и МDO. Поскольку NО и МО равны как половинки диагоналей квадрата, то NСМО – ромб. Но угол NОМ прямой (диагонали квадрата перпендикулярны), то NСМО – квадрат. Следовательно NС=СМ и угол АСВ – прямой. Далее заметим, что треугольники АВС и NСМ подобны по первому признаку, так как имеют общий угол С и соответственные углы АВС и NМС при параллельных АВ и NМ и секущей ВС равны. Следовательно, треугольник АВС, как и треугольник NСМ прямоугольный и равнобедренный.

б) Предлагаю тригонометрическое решение этой задачи. Из прямоугольного треугольника АDН тангенс угла DАН равен отношению DН : АН = 1 : 1,5 = 2/3. Но угол CAQ равен разности углов ВАС и ВAQ.Так как угол ВАС  равен 45 градусам, а его тангенс равен 1, то по формуле тангенса разности аргументов получаем  tg CAQ = tg(ВАС – ВAQ) = (tg ВАС – tgВAQ)/(1+ tg ВАС * tgВAQ) = (1 – 2/3)/(1 + 1*2/3) = 1/5. Значит cos CAQ = 5/√26.

Так как АН = СН = 1,5, то по теореме Пифагора АС = 1,5√2. Из треугольника CAQ имеем по определению синуса CQ = АС/cos CAQ = 1,5√2*√26/5 = 3√13/5.

Ответ 3√13/5.

Нашел в сети несколько решений следующей задачи, но у всех разные ответы. Попробуйте найти правильный ответ.

Задача 2. Вершины К и L квадрата KLMN с центром О лежат на стороне АВ треугольника АВС, а вершины М и N-на сторонах ВС и АС соответственно. Высота СН треугольника АВС проходит через точку О и пересекает отрезок MN в точке D, причём CD=DO=ОН.

а) Докажите, что треугольник АВС равнобедренный и прямоугольный.

б) Пусть прямая AD пересекает сторону ВС в точке Q. Найдите AQ, если сторона квадрата KL =2.