Остроугольный треугольник и полуокружность

Рассмотрим подробно решение задачи повышенной сложности по геометрии из сборника

контрольно-измерительных материалов ОГЭ. Она показывает, как важно в геометрической задаче правильно выполнить чертеж.

Задача. На стороне ВС остроугольного треугольника АВС как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту АР в точке М, АР = 80, МР = 64, Н – точка пресечения высот треугольника АВС. Найдите АН.

Решение. Построим остроугольный треугольник АВС, на стороне ВС как на диаметре построим полуокружность. Проведем высоту АР, она, по условию, пересекает полуокружность в точке М.

Теперь важно понять, как построить точку пересечения высот Н. Понятно, что она будет лежать на высоте АР. Если мы соединим точку С с точкой К пересечения стороны АВ и полуокружности, то угол СКВ – прямой. Он является вписанным и опирается на полуокружность. Аналогично, если мы соединим точку В с точкой Е пересечения стороны АС и полуокружности, то угол ВЕС тоже прямой. Значит СК и ВЕ – высоты треугольника АВС, Н – точка их пересечения.

Далее мы достроим полуокружность до полной окружности, продолжим прямую АР до второго пересечения с данной окружностью в точке Т. Заметим, что ТР=МР=64, так как радиус, перпендикулярный хорде, делит эту хорду пополам. Значит АТ = АР+РТ =80+64=144.

Теперь вспомним теорему о секущих: Если из точки, лежащей вне окружности, проведены две секущие, то произведение одной секущей на её внешнюю часть равно произведению другой секущей на её внешнюю часть.

Возьмем секущие АТ и АВ, по теореме о секущих АВ*АК = АТ*АМ. То есть АВ*АК=144*16.

Теперь рассмотрим треугольники АКН и АРВ. Они прямоугольные и имеют общий острый угол РАВ. Значит, эти треугольники подобны по первому признаку, а соответствующие стороны пропорциональны. Составим пропорцию АН:АВ=АК:АР, отсюда АН = АВ*АК:АР = 144*16:80=28,8.

Ответ 28,8.

Дополнительно можно посмотреть решение подобной задачи на портале Решу ОГЭ, задача  339457.

Большая подборка подобных задач с решениями на страничке http://school.umk-spo.biz/gia/forum/treyg/polyokr