Задача для исследования

Рассмотрим задачу, предлагавшуюся на одной из школьных олимпиад по математике.

Задача 1.
Через точку О, которая является центром окружности, проведена прямая, пересекающая окружность в точке А.  Радиус ОВ проведен так, что угол АОВ=60°. На прямой ОВ выбрана точка С так, что СК = ОВ, здесь К точка пересечения прямой ВС с данной окружностью. Найдите величину угла КСО.

Решение. Проведём радиус ОК, тогда треугольники ОКВ и ОКС – равнобедренные, ОК = ОВ как радиусы окружности, а ОВ =СК по условию задачи. Из свойства равнобедренного треугольника следует равенство углов ОВК = ОКВ и КОС = КСО. Заметим, что угол ОКВ является внешним углом треугольника ОКС и  равен сумме углов ОСК и СОК. Но углы ОСК и СОК равны, значит угол ОКВ равен двум углам ОСК. Если величину угла ОСК обозначим через х, величина углов ОКВ и ОВК равна 2х.  

Так как угол АОВ является внешним углом треугольника ОВС, то он равен сумме углов ОСК и ОВК. Значит, сумма этих углов равна 60 градусам. То есть получаем х + 2х = 60°. Отсюда х = 20°.

Ответ 20°.

Вопрос для самостоятельного исследования:

Можно ли подобрать величину угла центрального АОВ так, чтобы угол КСО равнялся а) 30°; б) 45°; в) 60°?