Угол между плоскостями

В приведённой ниже подборке заданий из открытого банка ФИПИ рассматриваются задачи на нахождение углов между плоскостями в правильной треугольной призме. (Вспомним, что у правильной треугольной призмы в основании лежит правильный треугольник, и боковые рёбра перпендикулярны основаниям).  Для того, чтобы найти двугранный угол (угол между двумя плоскостями, надо найти его линейный угол. Линейный угол образован перпендикулярами к ребру двугранного угла, проведёнными из одной точки, но в разных полуплоскостях (гранях).

Задание 1. В правильной треугольной призме АВСА₁В₁С₁ стороны основания равны 2, боковые рёбра равны 4, точка D – середина ребра СС₁.

а) Постройте прямую пересечения плоскостей АВС и ADB₁.

б) Найдите угол между плоскостями АВС и ADB₁.

Решение. Построим сечение данной призмы плоскостью АDВ​₁. Это треугольник АDВ​₁. Секущая плоскость имеет с основанием АВС общую точку А, следовательно пересекает плоскость АВС по прямой, проходящей через точку А. Найдём еще одну точку этой прямой. Продолжим сторону ВС до пересечения с прямой B₁D и получим точку К – общую для основания АВС и плоскости АDВ₁. Значит эти плоскости пересекаются по прямой АК.

Заметим, что треугольники КСD и DВ₁С₁ равны ( они прямоугольные, С₁D = DС по условию, углы С₁DB₁ и СDК – вертикальные). Значит СК = B₁С₁ = АС. Треугольник АСК – равнобедренный, угол САК равен углу СКА и равен 30 градусам (угол АСВ внешний угол треугольника АСК и равен сумме углов САК и СКА).  Отсюда получаем, что угол ВАК равен сумме углов ВАС и САК, 60+30=90. Угол ВАК – прямой.

Так как АА₁ перпендикулярна АК и АВ перпендикулярна АК, то АК перпендикулярна плоскости ВАА₁ и АВ₁ перпендикулярна АК. Значит угол ВАВ₁ является линейным углом двугранного угла ВАКВ₁ и его необходимо найти. Из треугольника АВВ₁ получаем:

tg ВАВ₁= ВВ₁/АВ=4/2=2.

Угол ВАВ₁= arctg2.

Ответ arctg2.

Задания для самостоятельной работы.

Задание 1. В правильной треугольной призме АВСА₁В₁С₁ стороны основания равны 3, боковые рёбра равны 1, точка D – середина ребра СС₁.

а) Постройте прямую пересечения плоскостей АВС и ADB₁.

б) Найдите угол между плоскостями АВС и ADB₁.

1.      В правильной треугольной призме ABCA​₁B₁C₁ стороны основания равны 2, боковые рёбра равны 1, точка D — середина ребра CC​₁. Найдите угол между плоскостями ABC и ADB​₁.

2.      В правильной треугольной призме ABCA​₁B₁C₁ стороны основания равны 3, боковые рёбра равны 2, точка D — середина ребра CC​₁. Найдите угол между плоскостями ABC и ADB​₁.

3.      В правильной треугольной призме ABCA​₁B₁C₁ стороны основания равны 3, боковые рёбра равны 1, точка D — середина ребра CC​₁. Найдите угол между плоскостями ABC и ADB​₁.

4.      В правильной треугольной призме ABCA​₁B₁C₁ стороны основания равны 1, боковые рёбра равны 3, точка D – середина ребра CC​₁. Найдите угол между плоскостями ABC и ADB​₁.

5.      В правильной треугольной призме ABCA​₁B₁C₁ стороны основания равны 1, боковые рёбра равны 2, точка D — середина ребра CC​₁. Найдите угол между плоскостями ABC и ADB​₁.

6.      В правильной треугольной призме ABCA​₁B₁C₁ стороны основания равны 2, боковые рёбра равны 3, точка D — середина ребра CC​₁. Найдите угол между плоскостями ABC и ADB​₁.