Окружность в квадрате и касательная

Для решения следующих геометрических задач необходимо знать

соответствующие факты из планиметрии. В частности, свойства касательных, проведённых к окружности из одной точки (их отрезки соединяющие исходную точку и точки касания равны), признаки подобия треугольников и свойства подобных треугольников, теорему Пифагора и другие.

Задача 1. К окружности, вписанной в квадрат ABCD, проведена касательная, пересекающая стороны AB и AD в точках M и N соответственно.

а) Докажите, что периметр треугольника AMN равен стороне квадрата.

б) Прямая MN пересекает прямую CD в точке P. В каком отношении делит сторону BC прямая, проходящая через точку P и центр окружности, если AM:MB=1:2?

Решение. а) По свойству касательных, проведённых к окружности из одной точки МН=МТ, NT=NR. Значит гипотенуза MN =МТ+ ТN =МН+ NR. Поэтому периметр треугольника AMN = АМ+ MN + AN = АМ+ МН+ NR + AN = АН + АR =АВ.

б) Найдём в каком отношении прямая MN  делит сторону BC. Заметим, что треугольник BKF равен треугольнику EDP (это следует из равенства треугольников OHF и OQP). Значит ВК=ED, КС=АЕ  и отношение отрезков ВК и КС равно отношению отрезков ED и АЕ.

Пусть АМ=1, тогда МВ=2, АВ=3, АН=1,5.

МН=АН-АМ=0,5. Значит МТ=МН=0,5. Обозначим NT=NR=х. Тогда

MN=МТ+х=0,5+х, AN = АR – х=1,5– х.

По теореме Пифагора MN²=АМ²+AN² или (0,5+х)²=1²+(1,5– х)². Раскрывая скобки, получим 0,25 +х +х² = 1 + 2,25 – 3х +х².

4х = 3, х = 0,75. AN = 1,5– 0,75=0,75.

Далее заметим, что треугольники AМN и NDP подобны (они прямоугольные и углы ANМ и PND – вертикальные). Значит АМ: AN=DP: ND, подставляя найденные значения, получаем 1: 0,75 = DP: 2,25, DP=2,25:0,75 =3.

Треугольники DPЕ и РСК подобны (прямоугольные и имеют общий угол DPЕ). Значит, соответствующие стороны пропорциональны.

ED:КС= DP:СР=3:6=1:2. Значит  ВК:КС= 1:2. Что и требовалось найти.

Ответ ВК:КС= 1:2.

Задания для самостоятельного решения.

Задача 1. К окружности, вписанной в квадрат ABCD, проведена касательная, пересекающая стороны AB и AD в точках M и N соответственно.

а) Докажите, что периметр треугольника AMN равен стороне квадрата.

б) Прямая MN пересекает прямую CD в точке P. В каком отношении делит сторону BC прямая, проходящая через точку P и центр окружности, если AM:MB=1:3?

Задача 2. К окружности, вписанной в квадрат ABCD, проведена касательная, пересекающая стороны AB и AD в точках M и N соответственно.

а) Докажите, что периметр треугольника AMN равен стороне квадрата.

б) Прямая MN пересекает прямую CD в точке P. В каком отношении делит сторону BC прямая, проходящая через точку P и центр окружности, если AM:MB=1:4?