Вычисление по формулам, геометрия

Задачи базового уровня из открытого банка ФИПИ.

Задача 1. Площадь треугольника вычисляется по формуле S=(bcsinα)/2, где b и c — две стороны треугольника, а α — угол между ними. Пользуясь этой формулой, найдите площадь S, если b=18, c=16 и sinα=1/3.

Решение. Подставляем числовые значения в формулу и получаем

Ответ 80.

Задача 2. Площадь четырёхугольника можно вычислить по формуле S=1/2d₁d₂sinα, где d₁ и d₂ — длины диагоналей четырёхугольника, α — угол между диагоналями. Пользуясь этой формулой, найдите площадь S, если d₁=4, d₂=7, a sinα=2/7.

Решение. Подставляем числовые значения в формулу и получаем S=1/2d₁d₂sinα=0,5*4*7*2:7=4.

Ответ 4.

Задача 3. Радиус окружности, описанной около треугольника, можно вычислить по формуле R=a/(2sinα), где a — сторона, а α — противолежащий ей угол треугольника. Пользуясь этой формулой, найдите R, если a=10 и sinα=1/3.

Решение. Подставляем числовые значения в формулу и получаем R=a/(2sinα)=10*3:2 =15.

Ответ 15.

Задачи для самостоятельного решения.

1.     Площадь треугольника вычисляется по формуле S=(bcsinα)/2, где b и c — две стороны треугольника, а α — угол между ними. Пользуясь этой формулой, найдите площадь S, если b=12, c=15 и sinα=1/3.

2.     Площадь треугольника вычисляется по формуле S=(bcsinα)/2, где b и c — две стороны треугольника, а α — угол между ними. Пользуясь этой формулой, найдите площадь S, если b=14, c=12 и sinα=1/3.

3.     Площадь треугольника вычисляется по формуле S=(bcsinα)/2, где b и c — две стороны треугольника, а α — угол между ними. Пользуясь этой формулой, найдите площадь S, если b=16, c=9 и sinα=1/3.

4.     Площадь треугольника вычисляется по формуле S=(bcsinα)/2, где b и c — две стороны треугольника, а α — угол между ними. Пользуясь этой формулой, найдите площадь S, если b=13, c=12 и sinα=1/3.

5.     Площадь треугольника со сторонами a, b, c можно найти по формуле Герона . Найдите площадь треугольника, если длины его сторон равны 4, 13, 15.

6.     Площадь треугольника со сторонами a, b, c можно найти по формуле Герона . Найдите площадь треугольника, если длины его сторон равны 11, 13, 20.

7.     Площадь треугольника со сторонами a, b, c можно найти по формуле Герона . Найдите площадь треугольника, если длины его сторон равны 7, 15, 20.

8.     Теорему косинусов можно записать в виде cosγ=(a²​+b²​−c²)/(2ab), где a, b и c — стороны треугольника, а γ — угол между сторонами a и b. Пользуясь этой формулой, найдите величину cosγ, если a=3, b=8 и c=7.

9.     Теорему косинусов можно записать в виде cosγ=(a²​+b²​−c²)/(2ab), где a, b и c — стороны треугольника, а γ — угол между сторонами a и b. Пользуясь этой формулой, найдите величину cosγ, если a=5, b=6 и c=7.

10.          Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда с рёбрами a, b и c вычисляется по формуле S=2(ab+ac+bc). Найдите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда, если его рёбра имеют длины 2, 5 и 6.

11.          Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда с рёбрами a, b и c вычисляется по формуле S=2(ab+ac+bc). Найдите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда, если его рёбра имеют длины 3, 4 и 5.

12.          Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда с рёбрами a, b и c вычисляется по формуле S=2(ab+ac+bc). Найдите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда с рёбрами 2, 4 и 5.

13.          Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда с рёбрами a, b и c вычисляется по формуле S=2(ab+ac+bc). Найдите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда с рёбрами 3, 4 и 6.

14.          Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда с рёбрами a, b и c вычисляется по формуле S=2(ab+ac+bc). Найдите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда с рёбрами 5, 6 и 20.

15.          Площадь треугольника можно вычислить по формуле S=abc/(4R), где a, b и c — стороны треугольника, а R — радиус окружности, описанной около этого треугольника. Пользуясь этой формулой, найдите S, если a=10, b=9, c=17 и R=858.

16.          Площадь треугольника можно вычислить по формуле S=abc/(4R), где a, b и c — стороны треугольника, а R — радиус окружности, описанной около этого треугольника. Пользуясь этой формулой, найдите S, если a=11, b=13, c=20 и R=656.

17.          Площадь треугольника можно вычислить по формуле S=abc/(4R), где a, b и c — стороны треугольника, а R — радиус окружности, описанной около этого треугольника. Пользуясь этой формулой, найдите S, если a=4, b=13, c=15 и R=658.

18.          Площадь треугольника можно вычислить по формуле S=abc/(4R), где a, b и c — стороны треугольника, а R — радиус окружности, описанной около этого треугольника. Пользуясь этой формулой, найдите S, если a=7, b=15, c=20 и R=252.

19.          Площадь четырёхугольника можно вычислить по формуле S=1/2d₁d₂sinα, где d1 и d2 — длины диагоналей четырёхугольника, α — угол между диагоналями. Пользуясь этой формулой, найдите площадь S, если d₁=6, d₂=12, a sinα=5/9.

20.          Площадь четырёхугольника можно вычислить по формуле S=1/2d₁d₂sinα, где d1 и d2 — длины диагоналей четырёхугольника, α — угол между диагоналями. Пользуясь этой формулой, найдите площадь S, если d1=4, d2=3, a sinα=5/6.

21.          Площадь четырёхугольника можно вычислить по формуле S=1/2d1d2sinα, где d1 и d2 — длины диагоналей четырёхугольника, α — угол между диагоналями. Пользуясь этой формулой, найдите площадь S, если d1=4, d2=18, a sinα=8/9.

22.          Площадь четырёхугольника можно вычислить по формуле S=1/2d1d2sinα, где d1 и d2 — длины диагоналей четырёхугольника, α — угол между диагоналями. Пользуясь этой формулой, найдите площадь S, если d1=6, d2=14, a sinα=6/7.

23.          Площадь прямоугольника вычисляется по формуле S=d²​sinα/2, где d — диагональ, α — угол между диагоналями. Пользуясь этой формулой, найдите S, если d=3 и sinα=2/3.

24.          Площадь прямоугольника вычисляется по формуле S=d²​sinα/2, где d — диагональ, α — угол между диагоналями. Пользуясь этой формулой, найдите S, если d=4 и sinα=1/2.

25.          Площадь прямоугольника вычисляется по формуле S=d²​sinα/2, где d — диагональ, α — угол между диагоналями. Пользуясь этой формулой, найдите S, если d=6 и sinα=1/3.

26.          Площадь прямоугольника вычисляется по формуле S=d²​sinα/2, где d — диагональ, α — угол между диагоналями. Пользуясь этой формулой, найдите S, если d=5 и sinα=2/5.

27.          Площадь трапеции вычисляется по формуле S=1/2(a+b)⋅h, где a и b — основания трапеции, h — её высота. Пользуясь этой формулой, найдите S, если a=6, b=4 и h=6.

28.          Площадь трапеции вычисляется по формуле S=1/2(a+b)⋅h, где a и b — основания трапеции, h — её высота. Пользуясь этой формулой, найдите S, если a=3, b=8 и h=4.

29.          Площадь трапеции вычисляется по формуле S=1/2(a+b)⋅h, где a и b — основания трапеции, h — её высота. Пользуясь этой формулой, найдите S, если a=5, b=3 и h=6.

30.          Площадь трапеции вычисляется по формуле S=1/2(a+b)⋅h, где a и b — основания трапеции, h — её высота. Пользуясь этой формулой, найдите S, если a=3, b=6 и h=4.

31.          Площадь трапеции вычисляется по формуле S=1/2(a+b)⋅h, где a и b — основания трапеции, h — её высота. Пользуясь этой формулой, найдите S, если a=4, b=9 и h=2.

32.          Радиус окружности, описанной около треугольника, можно вычислить по формуле R=a/(2sinα), где a — сторона, а α — противолежащий ей угол треугольника. Пользуясь этой формулой, найдите R, если a=6 и sinα=1/7.

33.          Радиус окружности, описанной около треугольника, можно вычислить по формуле R=a/(2sinα), где a — сторона, а α — противолежащий ей угол треугольника. Пользуясь этой формулой, найдите R, если a=8 и sinα=1/5.

34.          Радиус окружности, описанной около треугольника, можно вычислить по формуле R=a/(2sinα), где a — сторона, а α — противолежащий ей угол треугольника. Пользуясь этой формулой, найдите R, если a=8 и sinα=17.

35.          Вычислите среднее геометрическое чисел 4, 8, 16.

36.          Вычислите среднее геометрическое чисел 2, 4, 27.

37.          Вычислите среднее геометрическое чисел 2, 27, 32.