Наибольшее и наименьшее значения функции (тригонометрические функции)

Задания из открытого банка заданий ФИПИ, профильный уровень.

Задание 1. Найдите наибольшее значение функции y=59x−56sinx+42 на отрезке [− π/2; 0].

Решение. Заметим, что областью определения данной функции является множество всех действительных чисел R и отрезок [− π/2; 0] в ней содержится полностью.

Найдём критические точки, принадлежащие данному отрезку. Для этого найдём производную функции

y′ = (59x−56sinx+42 )′ = 59−56cosx.

Решаем уравнение 59−56cosx =0, или 59=56cosx, cosx=59/56>1. Уравнение корней не имеет, так как −1£ cosx £1.

Так как критических точек у функции нет, значит, она ведёт себя монотонно, возрастает или убывает на всей области определения. Найдём значение производной в точке ноль, y′(0) = 59−56cos0 = 59−56 = 3>0, то функция возрастает. Наибольшее значение она принимает в правом конце отрезка, то есть в точке 0.

y(0)=59*0−56sin0+42 = 42.

Ответ: 42.

Задание 2. Найдите наибольшее значение функции y=25x−25tgx+41 на отрезке [0; π/4].

 Задания для самостоятельной работы.

1. Найдите наибольшее значение функции y=89x−87sinx+57 на отрезке [− π/2; 0].
2. Найдите наибольшее значение функции y=85x−83sinx+55 на отрезке [− π/2; 0].
3. Найдите наименьшее значение функции y=6cosx+13x+8 на отрезке [0; 3π/2].
4. Найдите наибольшее значение функции y=43x−40sinx+34 на отрезке [− π/2; 0].
5. Найдите наименьшее значение функции y=13cosx+17x+21 на отрезке [0; 3π/2].
6. Найдите наименьшее значение функции y=56cosx+59x+42 на отрезке [0; 3π/2].
7. Найдите наименьшее значение функции y=4cosx+13x+9 на отрезке [0; 3π2].
8. Найдите наибольшее значение функции y=32x−32tgx−14 на отрезке [0; π/4].
9. Найдите наименьшее значение функции y=43x−43tgx−35 на отрезке [− π/4; 0].
10. Найдите наибольшее значение функции y=38x−38tgx+20 на отрезке [0; π/4].
11. Найдите наименьшее значение функции y=38x−38tgx+20 на отрезке [− π/4; 0].
12. Найдите наибольшее значение функции y=20x−20tgx−36 на отрезке [0; π/4].
13. Найдите наименьшее значение функции y=3x−3tgx+9 на отрезке [− π/4; 0].
14. Найдите наименьшее значение функции y=20x−20tgx−36 на отрезке [− π/4; 0].
15. Найдите наибольшее значение функции y=31x−31tgx+13 на отрезке [0; π/4].
16. Найдите наименьшее значение функции y=7x−7tgx+13 на отрезке [− π/4; 0].
17. Найдите наибольшее значение функции y=58x−58tgx+26 на отрезке [0; π/4].
18. Найдите наименьшее значение функции y=58x−58tgx+26 на отрезке [− π/4; 0].