Задания из открытого банка заданий
ФИПИ, профильный уровень.
Вспомним алгоритм, позволяющий находить наибольшее и (или)
наименьшее значение функции на отрезке.
1. Находим область определения функции
и проверяем, содержится в ней данный отрезок [a;b] полностью или частично.
2. Находим все точки, в которых не
существует первая производная и которые содержатся в отрезке [a;b]. Если таких точек нет, то переходим
к следующему пункту.
3. Определяем все стационарные точки,
попадающие в отрезок [a;b]. Для
этого, находим производную функции, приравниваем ее к нулю, решаем полученное
уравнение и выбираем корни, принадлежащие данному отрезку.
4. Вычисляем значения функции в
отобранных стационарных точках (если такие имеются), в точках, в которых не
существует первая производная (если такие имеются), а также в крайних точках a и b.
5. Из полученных значений функции
выбираем наибольшее и (или) наименьшее.
Задание 1. Найти наименьшее значение функции y
= 2x3−12x2+18x+3 на
отрезке [−1; 2].
Решение. Заметим, что областью определения данной функции является
множество всех действительных чисел R и отрезок [−1; 2] в ней
содержится полностью.
Найдём критические точки, принадлежащие данному
отрезку. Для этого найдём производную функции
y′ = (2x3−12x2+18x+3)′ = 6x2−24x
+ 18.
Решаем квадратное уравнение 6x2−24x
+ 18 =0, после
деления на 6 обеих частей уравнения получим
x2−4x
+ 3 =0.
Имеем два действительных корня: х1=1 и х2=3, две критические точки. Первая х1=1 принадлежит данному отрезку [−1; 2], а вторая нет.
Вычислим значение функции в точке х1=1:
Имеем два действительных корня: х1=1 и х2=3, две критические точки. Первая х1=1 принадлежит данному отрезку [−1; 2], а вторая нет.
Вычислим значение функции в точке х1=1:
y(1) = 2*13−12*12+18*1+3 = 2-12+18+3 =11.
Вычислим значения функции на концах отрезка:
Вычислим значения функции на концах отрезка:
y(-1) = 2*(-1)3−12*(-1)2+18*(-1)+3 = -2-12-18+3 =-29.
y(2) = 2*23−12*22+18*2+3 = 16-48+36+3 =7.
Среди трёх найденных чисел выбираем наименьшее.
Среди трёх найденных чисел выбираем наименьшее.
Ответ: -29.
Задание 2. Найдите наименьшее значение функции y=(x−8)2(x−7)−8 на
отрезке [7,5 ; 18].
отрезке [7,5 ; 18].
Решение. Заметим, что областью определения данной функции
является множество всех действительных чисел R и отрезок [7,5 ; 18] в ней
содержится полностью.
Найдём критические точки, принадлежащие данному
отрезку. Для этого найдём производную функции (используем правило
дифференцирования произведения двух функций)
y′ = ((x−8)2(x−7)−8 )′ = 2(x−8)(x−7)+(x−8)2
= (x−8) (3x−22).
Решаем уравнение (x−8) (3x−22)
=0.
Имеем две критические точки х1=8 и х2=22/3.
Первая х1=8 принадлежит данному отрезку [7,5 ; 18].,
а вторая нет.
Вычислим значение функции в точке х1=8:
Вычислим значение функции в точке х1=8:
y(8) = (8−8)2(x−7)−8 = -8.
Вычислим значения функции на концах отрезка:
Вычислим значения функции на концах отрезка:
y(7,5) = (7,5−8)2(7,5−7)
−8 = 0,125 −8
=-7,875.
y(18) = (18−8)2(18−7)
−8 = 1100−8 =1092.
Среди трёх найденных чисел выбираем наименьшее.
Среди трёх найденных чисел выбираем наименьшее.
Ответ: -8.
Задания для
самостоятельного решения.
1.
Найдите
наименьшее значение функции y = x3−x2−8x+4 на отрезке [1; 7].
2.
Найдите
наибольшее значение функции y=x3−6x2+9x+5 на отрезке [0; 3].
3.
Найдите
наибольшее значение функции y=x3−12x+5 на отрезке [− 3 ; 0].
4.
Найдите
наибольшее значение функции y=x3+2x2+x−7 на отрезке [−3; −0,5].
5.
Найдите
наибольшее значение функции y=x5+20x3−65x на
отрезке [− 4; 0].
6.
Найдите
наибольшее значение функции y=x5−5x3−20x на
отрезке [− 10; −1].
7.
Найдите
наименьшее значение функции y=18x2−x3+19 на
отрезке [− 7 ; 10].
отрезке [− 7 ; 10].
8.
Найдите
наименьшее значение функции y=19+192x−x3 на отрезке [− 8; 8].
9.
Найдите
наибольшее значение функции y=− 7+243x−x3 на отрезке [− 9; 9].
10.
Найдите
наименьшее значение функции y=11+48x−x3 на отрезке [− 4; 4].
11.
Найдите
наибольшее значение функции y=− 7+75x−x3 на отрезке [− 5; 5].
12.
Найдите
наименьшее значение функции y=21x2−x3+5 на отрезке [− 5 ; 9].
13.
Найдите
наименьшее значение функции y=9x2−x3+11 на отрезке [− 4 ; 4].
14.
Найдите
наименьшее значение функции y=12x2−x3+3 на отрезке [− 5 ; 6].
15.
Найдите
наибольшее значение функции y=x3−9x2+24x−7 на отрезке [−1; 3].
16.
Найдите
наименьшее значение функции y=x3+6x2+9x+21 на отрезке [−3; 0].
17.
Найдите
наибольшее значение функции y=(x+5)2(x−3)+6 на
отрезке [− 7 ; 0].
отрезке [− 7 ; 0].
18.
Найдите
наибольшее значение функции y=(x−4)2(x−9)−4 на
отрезке [1 ; 5].
отрезке [1 ; 5].
19.
Найдите
наибольшее значение функции y=(x+9)2(x+6)−5 на
отрезке [− 10 ; − 8].
отрезке [− 10 ; − 8].
20.
Найдите
наименьшее значение функции y=(x−10)2(x−6)−8 на
отрезке [8 ; 15].
отрезке [8 ; 15].
21.
Найдите
наибольшее значение функции y=(x+10)2(x+9)+1 на
отрезке [− 12 ; − 9,5].
отрезке [− 12 ; − 9,5].
22.
Найдите
наименьшее значение функции y=(x−5)2(x−3)+10 на
отрезке [4 ; 8].
отрезке [4 ; 8].
23.
Найдите
наибольшее значение функции y=(x−1)2(x−10)−1 на
отрезке [− 1 ; 6].
отрезке [− 1 ; 6].
24.
Найдите
наименьшее значение функции y=(x+5)2(x+6)−8 на
отрезке [− 5,5 ; 1].
отрезке [− 5,5 ; 1].
25.
Найдите
наименьшее значение функции y=(x−8)2(x−2)−3 на
отрезке [5 ; 17].
отрезке [5 ; 17].
26.
Найдите
наибольшее значение функции y=(x−8)2(x−9)−10 на
отрезке [2 ; 8,5].
отрезке [2 ; 8,5].
27.
Найдите
наибольшее значение функции y=(x+5)2(x+4)+7 на
отрезке [− 6 ; − 4,5].
отрезке [− 6 ; − 4,5].
28.
Найдите
наименьшее значение функции y=(x−6)2(x+5)+1 на
отрезке [1 ; 15].
отрезке [1 ; 15].
29.
Найдите
наименьшее значение функции y=(x−10)2(x−7)−4 на
отрезке [9; 14].
отрезке [9; 14].
30.
Найдите
наименьшее значение функции y=(x−9)2(x+4)−4 на отрезке [7 ; 16].
31.
Найдите
наименьшее значение функции y=(x−10)2(x+10)−7 на отрезке [8 ; 18].
32.
Найдите
наибольшее значение функции y=(x+10)2(x+1)+3 на
отрезке [− 20 ; − 7].
отрезке [− 20 ; − 7].
33.
Найдите
наибольшее значение функции y=(x+9)2(x−5)+8 на
отрезке [− 14 ; − 8].
отрезке [− 14 ; − 8].
34.
Найдите
наименьшее значение функции y=(x−1)2(x+3)+4 на
отрезке [0 ; 8].
отрезке [0 ; 8].
35.
Найдите
наибольшее значение функции y=(x+6)2(x−4)+3 на
отрезке [− 11 ; − 1].
отрезке [− 11 ; − 1].
36.
Найдите
наименьшее значение функции y=(x+3)2(x+7)−10 на
отрезке [− 5 ; 6].
отрезке [− 5 ; 6].
37.
Найдите
наибольшее значение функции y=(x+8)2(x+1)−3 на
отрезке [− 15 ; − 7].
отрезке [− 15 ; − 7].
38.
Найдите
наибольшее значение функции y=(x+10)2x+2 на
отрезке [− 11 ; − 4].
отрезке [− 11 ; − 4].
39. Найдите
наименьшее значение функции y=(x+3)2(x+6)+7 на
отрезке [− 4 ; 1].
отрезке [− 4 ; 1].
Комментариев нет:
Отправить комментарий