Первообразная на ЕГЭ

Рассмотрим несколько задач из открытого банка заданий ЕГЭ по математике, в которых используются первообразная и интеграл. Предварительно можно повторить теорию в посте В8 и первообразная.

Задание 8 (№ 323097)

На рисунке изображён график функции y = F(x) — одной из первообразных некоторой функции f(x), определённой на интервале (-3; 5). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения f(x) = 0 на отрезке [ -2; 4].
Решение. По определению  функцию F(x) называют первообразной для функции  f (х) на заданном промежутке, если для всех х из этого промежутка выполняется равенство F′(x) = f (x). 

 

Значит, мы должны найти точки в которых  F′(x) = f (x) =0. То есть точки, в которых первообразная  y = F(x) имеет локальные экстремумы (максимум или минимум), в этих точках касательные к графику функции параллельны оси Ох. На втором рисунке эти точки из отрезка [ -2; 4] отмечены и пронумерованы.
Ответ 8.


 

Задание 8 (№ 323187)

На рисунке изображён график функции y = f(x) (два луча с общей начальной точкой). Пользуясь рисунком, вычислите F(6) – F(4), где F(x) — одна из первообразных функции f(x).

Геометрический смысл интеграла

 Решение.Вспомним геометрический смысл определённого интеграла. Для этого рассмотрим рисунок с произвольной криволинейной трапецией.  Если f(x) непрерывна и положительна на [a, b], то интеграл представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями y = 0, x = a, x = b, y = f(x).
Но, по формуле Ньютона-Лейбница этот интеграл равен разности значений первообразной в точках, которые являются пределами интегрирования F(b) - F(a). Значит наша задача сводится к нахождению площади трапеции, которая на рисунке ниже, закрашена жёлтым цветом. Площадь этой трапеции равна 3. 
Ответ 3.



 Задания для самостоятельного решения.

1. Задание 8 (№ 323077). На рисунке изображён график функции y = F(x)  — одной из первообразных некоторой функции f(x), определённой на интервале (-3; 5) . Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения f(x) = 0 на отрезке [ -2; 4].

2. Задание 8 (№ 323087)

На рисунке изображён график функции y = F(x) — одной из первообразных некоторой функции f(x), определённой на интервале (-2; 4). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения f(x) = 0 на отрезке [ -1; 3]. 

3. Задание 8 (№ 323078)

На рисунке изображён график функции y = f(x) (два луча с общей начальной точкой). Пользуясь рисунком, вычислите F(8) – F(2), где  F(x) — одна из первообразных функции f(x).

4. Задание 8 (№ 323189)

На рисунке изображён график функции y = f(x) (два луча с общей начальной точкой). Пользуясь рисунком, вычислите F(6) – F(2) , где F(x) — одна из первообразных функции f(x).

Ответы к заданиям: 1 - 10, 2 - 6, 3 - 7, 4 - 5.