Задачи одного чертежа

Для того. чтобы выработать внимательность при решении задач и чтении чертежей, чтобы подчеркнуть отличия функции и её производной, а также их связь, рассмотрим несколько задач на применение производной на одном чертеже.
Итак, первый случай. На чертеже задан график функции у = f(x).

Задание 1. Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.
Решение. Вспоминаем тот факт, что если на некотором числовом промежутке функция монотонно возрастает, то производная её в точках этого промежутка положительна. Наша функция возрастает на промежутках (-7;-4) и (-0,5; 1). Осталось подсчитать количество точек с целыми координатами на этих интервалах. Это -6, -5 и 0. Ответ 3.

 
Задание 2. Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна. 
Решение. Вспоминаем тот факт, что если на некотором числовом промежутке функция монотонно убывает, то производная её в точках этого промежутка отрицательна. Наша функция убывает на промежутках (-10;-7), (-4; -0,5) и (1; 2). Осталось подсчитать количество точек с целыми координатами на этих интервалах. Это -9, -8, -3; -2 и -1. Ответ 5.

Задание 3. Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой у = -1. 
Решение. Угловой коэффициент прямой у = -1 равен 0 и она параллельна оси Ох. Таким образом наша задача сводится к поиску точек на графике в которых касательные параллельны оси абсцисс, то есть стационарные точки (в них производная равна нулю). Таких точек на графике 4 (-7; -4; -0,5; 1). Ответ 4.


Задание 4. Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой у = 18.  
Решение такое же как в предыдущей задаче. Ответ 4.

Кроме этого, мы на графике видим две точки локального максимума (-4 и 1) и две точки локального минимума (-7 и -0,5). Наибольшее значение функция принимает в точке -4 и наименьшее в точке -0,5. 

Теперь рассмотрим второй случай. На чертеже задан график производной функции у = f(x).
Задание 1. Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции у=f(x) параллельна прямой у = -х+8 или совпадает с ней.
Решение.  Угловой коэффициент прямой у = -х+8 равен -1 и все прямые параллельные ей имеют такой угловой коэффициент. По геометрическому смыслу производной угловой коэффициент касательной равен значению производной данной функции в точке касания. Таким образом наша задача сводится к поиску точек на графике в которых  производная равна -1, то есть это точки пересечения прямой у=-1 и графика производной. Таких точек на графике три. Ответ 3.

 Задание 2. В какой точке отрезка [-9;-5] функция у=f(x) принимает наименьшее значение.
 Решение. По графику мы видим, что производная заданной функции на отрезке [-9;-5] отрицательна, значит сама функция на этом отрезке убывает и наименьшее значение принимает в точке -5.  Ответ -5.

Задание 3.   Найдите промежутки возрастания функции у=f(x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

  Решение. По графику мы видим, что производная заданной функции положительна на интервалах (-10;-9), (-5;-2), значит сама функция на этих интервалах возрастает.  Только две целых точки входят в эти интервалы -4 и -3. Их сумма равна -7. Ответ -7.