Вероятность. Решаем задачи.

Из 80 отстрелянных мишеней в четырех индивидуальных гонках и эстафете на Олимпиаде в Сочи у Дарьи Домрачевой закрылись 76. Могло быть и больше, если бы не подвели эмоции от близости победы, но и нынешний процент попаданий лучшей белорусской биатлонистки впечатляет не только соперниц, но, кажется, и ее саму. Определите, при сохранении данной статистики:

1.     Какова у Дарьи вероятность попадания в мишень с первого выстрела?

Решение: 76:80=0,95

Ответ: 0,95.

2.     С какой вероятностью Дарья попадёт в цель в первой и в третьей попытках?

Решение: 0,95*0,95 = 0,9025

Ответ: 0,9025.

3.     Какова вероятность того, что Дарья промахнётся в пятой попытке?

Решение: Если вероятность попадания в цель 0,95, то вероятность промаха равна 1-0,95= 0,05

Ответ: 0,05.

4.     Какова вероятность того, что Дарья один раз промахнётся в пяти попытках?

Решение: Иначе говоря, Дарья попадёт 4 раза и один раз промахнётся. Поскольку события независимые, то искомая вероятность равна произведению вероятностей каждого события 0,95*0,95*0,95*0,95*0,05=0,0407253125

Ответ: 0,0407253125.

5.     Вероятность попадания в мишень для Евгения Устюгова в положении лёжа  0,9, а в положении стоя – 0,85. На тренировке он делает один выстрел лёжа и один стоя. Какова вероятность того, что биатлонист попадёт в мишень хотя бы в одном положении?

Решение: Вероятность промаха в положении стоя равна 0,1, а в положении лёжа 0,15. Тогда вероятность промаха в обоих выстрелах равна 0,1*0,15=0,015. Значит вероятность попадания в одном или в обоих положениях равна 1-0,015=0,985

Ответ: 0,985.

6.     Антон Шипулин на тренировке 5 раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,9. Найдите вероятность того, что Антон первые 3 раза попал в мишени, а последние два промахнулся. Результат округлите до сотых.

Решение: Поскольку события независимые, то искомая вероятность равна произведению вероятностей каждого события 0,9*0,9*0,9*0,1*0,1=0,00729

Ответ: 0,01.

7.     Яна Романова стре­ля­ет по ми­ше­ни один раз. В слу­чае про­ма­ха она де­ла­ет вто­рой вы­стрел по той же ми­ше­ни. Ве­ро­ят­ность по­пасть в ми­шень при одном вы­стре­ле равна 0,8. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что ми­шень будет по­ра­же­на (либо пер­вым, либо вто­рым вы­стре­лом).

Решение: Вероятность промаха равна 0,2. Тогда вероятность промаха в обоих выстрелах равна 0,2*0,2=0,04. Значит вероятность попадания в одном из выстрелов равна 1-0,04=0,96

Ответ: 0,96.

Кёрлинг.  У канадского скипа Дженифер Джонс на олимпиаде великолепно шла игра — она показала 94 % точности.

8.     Какова вероятность хотя бы одной ошибки Дженифер в трёх бросках?

Решение: Вероятность попадания во всех трёх бросках равна 0,94* 0,94* 0,94= 0,830584. Тогда вероятность хотя бы одной ошибки равна 1-0,830584=0,169416.

Ответ: 0,169416.

9.     Какова вероятность одной ошибки Дженифер в трёх бросках?

Решение: Иначе говоря, Дженифер попадёт 2 раза и один раз ошибётся. Поскольку события независимые, то искомая вероятность равна произведению вероятностей каждого события 0,94*0,94*0,06=0,053016.

Ответ: 0,053016.

10.                       На паралимпиаде в Сочи в кёрлинге на колясках участвовало 10 команд. Какова вероятность у сборной России занять призовое место, если считать все команды одинаково подготовленными, равносильными.

Решение: Вероятность занять одно из трёх призовых мест среди десяти команд равна 0,3.

Ответ: 0,3.

11.                       На двух фабриках изготовляются талисманы Олимпийских игр в Сочи Зайки. Пер­вая фаб­ри­ка вы­пус­ка­ет 45% белых Заек, а вто­рая — 55%. На пер­вой фаб­ри­ке из-за различных сбоев получается 3% бра­ко­ван­ных Заек, а на вто­рой меньше — 1%. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что слу­чай­но куп­лен­ный в ма­га­зи­не Зайка ока­жет­ся бра­ко­ван­ным. Зайки в магазин завозятся только с этих двух фабрик.

Решение: Вероятность того, что попадётся бракованный Зайка с первой фабрики равна 0,45*0,03=0,0135. Вероятность того, что попадётся бракованный Зайка со второй фабрики равна 0,55*0,01=0,0055. Искомая вероятность равна сумме 0,0135+0,0055=0,019.

Ответ: 0,019. 

12.                       В ледовом дворце "Большой" в Сочи, в одном из залов установлены два оди­на­ко­вых ав­то­ма­та, которые про­да­ют кофе. Ве­ро­ят­ность того, что к концу дня в ав­то­ма­те за­кон­чит­ся кофе, равна 0,3. Ве­ро­ят­ность того, что кофе за­кон­чит­ся в обоих ав­то­ма­тах, равна 0,12. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что к концу дня кофе оста­нет­ся в обоих ав­то­ма­тах.

Решение: События совместные P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A·B)  . Вероятность того, что кофе останется хотя бы в одном автомате к концу дня равна 0,3+0,3-0,12=0,48. Тогда вероятность того, что кофе останется в обоих автоматах равна 1-0,48=0,52.

Ответ: 0,52.

13.                       В этом же ледовом дворце "Большой", но в другом зале,  стоят два платёжных ав­то­ма­та. Каж­дый из них может быть не­ис­пра­вен с ве­ро­ят­но­стью 0,04 не­за­ви­си­мо от дру­го­го ав­то­ма­та. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что хотя бы один ав­то­мат ис­пра­вен.

Решение: Вероятность того, что оба автомата неисправны равна 0,04*0,04=0,0016. Тогда вероятность того, что хотя бы один автомат исправен равна 1-0,0016=0,9984.

Ответ: 0,9984.

14.                       Комната в гостинице в посёлке Ясная Поляна осве­ща­ет­ся светильником с двумя лам­па­ми. Ве­ро­ят­ность пе­ре­го­ра­ния лампы в те­че­ние года равна 0,2. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что в те­че­ние года хотя бы одна лампа не пе­ре­го­рит.

Решение: Вероятность того, что обе лампы перегорят, равна 0,2*0,2=0,04. Тогда вероятность того, что хотя бы одна не перегорит, равна 1-0,04=0,96.

Ответ: 0,96.

15.                       Ве­ро­ят­ность того, что новый элек­три­че­ский самовар в гостиничном номере горнолыжного курорта «Роза Хутор» про­слу­жит боль­ше года, равна 0,96. Ве­ро­ят­ность того, что он про­слу­жит боль­ше двух лет, равна 0,89. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что он про­слу­жит мень­ше двух лет, но боль­ше года.

Решение: 0,96-0,89=0,07.

Ответ: 0,07.

16.                       Ве­ро­ят­ность того, что участник марафона «Многолика и многогранна» по математике верно решит боль­ше 11 задач, равна 0,68. Ве­ро­ят­ность того, что О. верно решит боль­ше 10 задач, равна 0,77. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что О. верно решит ровно 11 задач.

Решение: 0,77-0,68=0,09.

Ответ: 0,09.

17.                       По от­зы­вам по­ку­па­те­лей Вероятка Невозможнова оце­нила надёжность двух ин­тер­нет-ма­га­зи­нов. Ве­ро­ят­ность того, что необходимого ей Олимпийского Мишку до­ста­вят из ма­га­зи­на Альфа, равна 0,88. Ве­ро­ят­ность того, что этот товар до­ста­вят из ма­га­зи­на Бетта, равна 0,9. Вероятка Невозможнова за­ка­зала товар сразу в обоих ма­га­зи­нах. Счи­тая, что ин­тер­нет-ма­га­зи­ны ра­бо­та­ют не­за­ви­си­мо друг от друга, най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что ни один ма­га­зин не до­ста­вит товар.

Решение: 0,12*0,1=0,012.

Ответ: 0,012.

18.                       Оформив заказы в интернет-магазинах, Вероятка Невозможнова отправилась в ближайший хозяйственный магазин, чтобы купить две батарейки для часов. Ве­ро­ят­ность того, что ба­та­рей­ка бра­ко­ван­ная, равна 0,05. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что обе ба­та­рей­ки ока­жут­ся ис­прав­ны­ми.

Решение: Вероятность того, что обе батарейки окажутся исправными равна 0,95*0,95=0,9025.

Ответ: 0,9025.

19.                       При выходе из хозяйственного магазина в кар­ма­не у Вероятки Невозможновой было 2 мо­не­ты по 2 руб­ля и 4 мо­не­ты по 10 руб­лей. Вероятка Невозможнова, не глядя, автоматически пе­ре­ло­жила какие-то 3 мо­не­ты в дру­гой кар­ман. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что двух­руб­ле­вые мо­не­ты лежат те­перь в раз­ных кар­ма­нах.

Решение: Возможные благоприятные случаи (2,10,10), (10,2,10) и (10,10,2). Вероятность этих несовместных событий равна сумме вероятностей каждого события

Ответ: 0,6.

20.                       Далее Вероятка Невозможнова зашла в ма­га­зи­н «Спорттовары». В этом магазине четыре про­дав­ца. Каж­дый из них занят с кли­ен­том с ве­ро­ят­но­стью 0,2. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что в тот мо­мент вре­ме­ни, когда вошла Вероятка Невозможнова, все четыре про­дав­ца за­ня­ты од­но­вре­мен­но (счи­тай­те, что кли­ен­ты за­хо­дят не­за­ви­си­мо друг от друга).

Решение: 0,2*0,2*0,2*0,2=0,0016.

Ответ: 0,0016.