Решение задач B15.

Все задачи B15, которые встречаются в ЕГЭ по математике, требуют умения выполнять действия с функциями, в частности, находить производные функций.  Задачи делятся на два типа:

1. Задачи на поиск максимального (наибольшего) или минимального (наименьшего) значения функции на отрезке или на всей числовой прямой;
2. Задачи нахождение точки максимума или минимума функции.

Кратко напомним основные понятия.

Наибольшим (максимальным) значением функции y=f(x) на промежутке X называют такое значение y₀=f(x₀), что для любого х из промежутка X  справедливо неравенство f(x)< f(x₀).

Наименьшим (минимальным) значением функции y=f(x) на промежутке X называют такое значение y₀=f(x₀), что для любого х из промежутка X  справедливо неравенство f(x)> f(x₀).

Простым языком, наибольшее (наименьшее) значение функции – это самое большое (самое маленькое) значение этой функции, принимаемое на рассматриваемом числовом промежутке с абсциссой x₀.

Стационарные точки – это значения аргумента х, при которых производная функции равна нулю.

Из теоремы Ферма следует, что если дифференцируемая на некотором числовом промежутке функция имеет экстремум (локальный минимум или локальный максимум) в некоторой точке, то эта точка является стационарной.

Таким образом, функция может принимать своё наибольшее (наименьшее) значение на промежутке X в одной из стационарных точек из этого промежутка, в крайних точках (если они есть у данного числового промежутка), в точках, в которых не существует первая производная этой функции, а сама функция определена.

Задачи на нахождение максимального или минимального значения функции на заданном отрезке.

Если в задаче требуется найти наибольшее (максимальное) или наименьшее (минимальное) значение функции у= f (x) на отрезке [a; b], выполняем следующие действия:

1. Находим область определения функции, её общую часть с отрезком [a;b].
2. Определяем, есть ли на отрезке [a;b] точки, в которых не существует первая производная данной функции.
3. Находим все стационарные точки, попадающие в отрезок [a;b]. Для этого производную функции приравниваем ее к нулю, решаем уравнение f ′(x) = 0 и выбираем подходящие корни. Встречаются задачи, в которых стационарных точек нет или ни одна из них не попадает в заданный отрезок.
4. Вычисляем значения функции у= f (x) в отобранных стационарных точках (если такие имеются), в точках, в которых не существует первая производная (если такие имеются), а также в крайних точках x=a и x=b.
5. Из полученных значений функции f (a), f (b), f (x₁), f (x₂), ..., f (x_n) выбираем наибольшее или наименьшее, это и будет ответ.

Рассмотрим для примера следующую задачу.

Задача 1. Найдите наибольшее значение функции на отрезке [−5; 0]:

y = x³ − 48x + 10

Решение.

Для начала найдем производную:

y′ = (x³ − 48x + 10)′ = 3x² − 48

Затем приравняем ее к нулю: y′ = 0;
3x² − 48 = 0, делим обе части на 3, получаем x² − 16 = 0; x₁ = −4; x₂ = 4.

Вычеркиваем корень x = 4, поскольку он не принадлежит отрезку [−5; 0]. Осталось вычислить значение функции на концах отрезка и в точке x = −4. Имеем:

y(−5) = (−5)³ − 48 · (−5) +10 = 125;
y(−3) = (−4)³ − 48 · (−4) +10 = 138;
y(0) = 0³ − 48 · 0 +10 = 10.

Очевидно, что наибольшее значение равно 138, оно достигается в точке x = −3.

Ответ: 138.

Задачи для самостоятельного решения:

1.      Найдите наименьшее значение функции y = x³ − 4x² − 3x на отрезке [1; 5].

2.      Найдите наибольшее значение функции y = x³ + x² − 16x на отрезке [−1; 5].

3.      Найдите наименьшее значение функции y = x³ − 6x² + 1 на отрезке [−3; 4].

4.      Найдите наибольшее значение функции y = x³ − 3x + 4 на отрезке [−2; 1].

5.      Найдите наибольшее значение функции y = x³ + x² − 8x − 8 на отрезке [−3; 0].

6.      Найдите наименьшее значение функции y = 4x² − 4x − x³ на отрезке [1; 4].

Задача 2. Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции y=5cosx – 6x + 4

на от­рез­ке [-1,5p;0].

Ре­ше­ние.

Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:  y′ = -5sinx – 6.

Решим урав­не­ние y′ = 0, то есть -5sinx – 6=0, sinx = – 6/5<-1, не имеет ре­ше­ний.

Про­из­вод­ная от­ри­ца­тель­на при всех зна­че­ни­ях пе­ре­мен­ной, по­это­му за­дан­ная функ­ция яв­ля­ет­ся убы­ва­ю­щей.

Сле­до­ва­тель­но, наи­мень­шим зна­че­ни­ем функ­ции на за­дан­ном от­рез­ке яв­ля­ет­ся значение в правой крайней точке 0.

 y(0) =5cos0 – 6×0 + 4 = 9.

Ответ: 9.

Задачи для самостоятельного решения:

1.      Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции y = 7sinx – 8х +9. на от­рез­ке [-1,5пи;0].

Ответ: 9.

2.      Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции y=9cosx = 14x + 7 на от­рез­ке [0; 1,5пи].

Ответ: 16.

3.      Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции y = 15х - 3sinx +5. на от­рез­ке [-0,5пи;0].

Ответ: 5.

Продолжение следует.