В8 и первообразная.

Вспомним немного теории.

Определение: Если на координатной плоскости дан график положительной функции у=f(х), заданной на отрезке [a;b], то криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная графиком функции у=f(х), прямыми х = а и  х = b и осью абсцисс. 

Определение: Пусть дана положительная функция у=f(х), определённая на конечном отрезке [a;b]. Интегралом от функции у=f(х) на отрезке [a;b] называется площадь её криволинейной трапеции.

Обозначение интеграла. Традиционно интеграл от функции у = f (x) обозначается так:

Первообразная

Определение:  функцию F (x) называют первообразной для функции  f (х) на заданном промежутке, если для всех х из этого промежутка выполняется равенство

F′(x) = f (x)

Видим, что интегрирование является операцией обратной дифференцированию. Вычисление интеграла сводится к нахождению функции, производная которой равна заданной функции.

Для обозначения первообразной используют знак неопределённого интеграла, то есть интеграла без указания пределов интегрирования.

Теорема (Ньютона–Лейбница): Пусть f (х) данная функция, F её произвольная первообразная. Тогда

То есть, интеграл функции f (x) на интервале [a;b] равен разности первообразных в точках b и a. (Формула Ньютона-Лейбница)

Соответственно и площадь соответствующей криволинейной трапеции равна разности первообразных в точках b и a. 

В таблице приведены основные свойства интеграла.

Для работы с первообразной и интегралом необходимо помнить производную и её свойства, уметь применять производную для исследования графиков функции.

Задачи из открытого банка заданий по математике ЕГЭ 2013.

Задание B8 (№ 323289)

На рисунке изображён график некоторой функции y = f(x).

Функция F(x) = x³+27x²+249x-3 — одна из первообразных функции f(x). Найдите площадь закрашенной фигуры.

Решение. 

S = F(b) – F(a) = F(-8) – F(-10)= (-8)³+27× (-8)²+249×(-8) -3 – ((-10)³+27× (-10)²+249× (-10) -3) =  -512+1728 – 1992 -3 +1000 -2700 +2490 +3 = 14

Задание B8 (№ 323387)

На рисунке изображён график некоторой функции у=f(х). Функция F(x) = -0,2x³- 4,5x²- 30x-1,375  — одна из первообразных функции у=f(х). Найдите площадь закрашенной фигуры.

Решение. 

S = F(b) – F(a) = F(-5) – F(-10)= –0,2×(–5)³–4,5× (–5)² – 30×(–5) – 1,375 – (–0,2× (–10)³–4,5× (–10)² – 30× (–10) – 1,375) =  25– 112,5 + 150 – 1,375 –200 +450 – 300 + 1,375 = 12,5