Задачи на смеси и сплавы. Часть 1.

При решении текстовых задач на смеси и сплавы постоянно приходится работать со следующими понятиями.

Абсолютное содержание вещества в смеси – это количество вещества, выраженное в обычных единицах измерения (граммах, литрах и т.д.).

Относительное содержание вещества в смеси – это отношение абсолютного содержания к общей массе (объему) смеси, т.е.

относительное содержание = абсолютное содержание/ общая масса

Часто относительное содержание называют концентрацией или процентным содержанием, а абсолютное содержание – количеством  чистого вещества.

Помни:

·        Масса раствора равна сумме масс жидкости, в которая служит основой раствора (например, воды) и растворяемого вещества (например, соли).

·        Масса сплава равна сумме масс металлов, входящих в этот сплав.

·        Масса смеси равна сумме масс компонентов этой смеси.

·        Концентрация вещества в смеси – это часть, которую составляет масса вещества в смеси от массы смеси. Концентрация вещества может быть указана и числом и %.

·        Один процент от числа - это сотая часть от этого числа.

Простейшие примеры и задачи:

1.     Выражение молоко имеет 3,5 % жирности означает, что в100 г молока содержится 3,5 г жира. Соответственно в 1 кг молока – 35 г жира.

2.     Надпись на емкости «9% раствор уксуса» означает, что в100 г этого раствора содержится 9 г уксусной кислоты. Соответственно в 1 кг – 90 г уксусной кислоты.

3.     Условие «концентрация раствора 3 %» означает, что в100 г раствора содержится 3 г вещества.

4.     Выражение золотое кольцо имеет 583 пробу означает, что в 1 г кольца содержит 583 миллиграмма золота.

5.     Сколько сахара содержится в 200 граммах 10%- го сахарного сиропа? Ответ 20 грамм.

6.     Если к одной части сахара прибавить 4 части воды, то концентрация полученного раствора будет равна 20%. (1 часть сахара + 4 части воды = 5 частей раствора, то есть сахар составляет 1/5 от всего раствора, от 100%. 100% : 5· 1 = 20%).

7.     Килограмм соли растворили в 9 л воды. Какова концентрация раствора? Соль составляет десятую часть от всего раствора. Ответ 10%.

Пример раствора.  Возьмем 180 грамм воды и добавим в воду 20 грамм соли. Получим расствор, его масса равна 180 + 20 = 200 грамм. Концентрация соли (процентное содержание соли) - это отношение количества соли к количеству раствора, записанное в процентах - (20 : 200)100 = 10%,
Процентное содержание воды - (180 : 200)100 = 90%.

Результаты запишем в виде таблицы.

вода	180	90%
соль	20	10%
раствор	200	100%

Пример смеси. Готовим цементный раствор. Возьмем 10 кг цемента и 30 кг песка, высыплем в окорёнок и тщательно перемешаем. Получим смесь цемента с песком, её масса равна 10 + 30 = 40 кг.

Концентрация цемента - (10 : 40)100 = 25%,
Процентное содержание песка - (30 : 40)100 = 75%.

Результаты запишем в виде таблицы.

цемент	10	25%
песок	30	75%
смесь	40	100%

Рассмотрим первый алгоритм решения задач.
Арифметический способ решения

При образовании смеси складываются абсолютные содержания. Поэтому, если известны только относительные содержания, то нужно:

1)    подсчитать абсолютные содержания компонентов каждой  смеси;

2)    сложить абсолютные содержания, то есть подсчитать абсолютные содержания компонентов полученной смеси;

3)    найти массу полученной смеси;

4)    подсчитать относительное содержание компонентов полученной смеси.

5)    Записать ответ.

Задача 1.
Даны два куска с различным содержанием олова. Первый, массой 300г, содержит 20% олова. Второй, массой 200г, содержит 40% олова. Сколько процентов олова будет содержать сплав, полученный из этих кусков?

Решение.

1)    300 •20 : 100 = 60 (г) - абсолютное содержание олова в первом сплаве,                              

2)    200 • 40 : 100 = 80 (г) - абсолютное содержание олова во втором  сплаве;                      

3)    60 + 80 = 140 (г) -  абсолютное содержание олова   в двух сплавах вместе;

4)    200 + 300 = 500 (г) – масса куска после сплавления;

5)    140 : 500 • 100 = 28% - относительное содержание содержится олова после сплавления.

Ответ: 28%.

Проверь себя!

1.     Смешали 300 грамм 50%-го и 100 грамм 30%-го раствора кислоты. Определите процентное содержание кислоты в полученной смеси.

2.     Имеется чай двух сортов – по 80рублей и по 120рублей за 1кг. Смешали 300г первого и 200 г второго сорта. Определите цену 100г полученной смеси.

3.     (Из «Арифметики» А.П. Киселева) Смешано три сорта муки: 15 фунтов по 8к., 20фунтов по 7к. и 25 фунтов по 4к. за фунт. Что стоит фунт смеси?

4.     Сплавили 2 кг сплава цинка и меди, содержащего 20% цинка, и 6 кг сплава цинка и меди, содержащего 40% цинка. Найдите процентную концентрацию меди в получившемся сплаве.

5.     Смешали 4 кг 15%-ного раствора соли с 5 кг 20%-ного соли к смеси добавили 1 литр чистой воды. Какова концентрация полученной смеси?

Ответы 45%; 9,6 рубля; 6 копеек; 35%; 16%.

Задача 5. Рещение.

Запишем условие задачи в виде таблицы, считая, что чистая вода это раствор, содержащий 0 кг соли.

	1-й раствор		2-й раствор		3-й раствор		смесь
вода						100%
соль		15%		20%		0%
расствор	4 кг	100%	5 кг	100%	1 кг	100%

Концентрация раствора - это отношение массы соли к массе раствора, записанное в процентах. Чтобы найти ее нам нужно решить три следующие задачи:

а) найти массу соли в каждом из трех растворов;

б) найти массу соли в смеси;

в) найти массу смеси;

г) найти отношение массы соли, содержащейся в смеси и массы самой смеси и выразить это отношение в процентах.

1. Объем соли в 1-м растворе. 4 0,15 = 0,6 (кг);

2. Объем соли в 2-м растворе .  50,2 = 1 (кг);

3. Объем соли в смеси.  0,6 + 1 + 0 = 1,6 (кг);

4. Объем смеси.  4 + 5 + 1 = 10 (кг);

5. Концентрация соли в смеси. (1,6 : 10)100 =16%.

Ответ: 16%.