Физический смысл производной.

Ещё часть задач из раздела В8 ЕГЭ по математике связана с физическим смыслом производной. Напомним его.  

Если положение точки при её движении задаётся функцией S = f(t), где t – время движения, то производная функции S  есть мгновенная скорость движения в момент времени t, v(t) = S'(t).

Скорость – есть производная от пути по времени.

Уместно заметить, что ускорение – это скорость изменения скорости тела, значит а(t) = v'(t)= S''(t).

Ускорение – есть производная от скорости по времени, или вторая производная от пути по времени.

Кстати, по аналогии вообще говорят о том, что производная функции у = f(x) – скорость изменения функции в точке х.

Решим несколько задач уровня В8 из Открытого банка задач для подготовки к ЕГЭ по математике на использование физического смысла производной.

Пример 1. Решим задание В8 (№ 119975). 

Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = 6t² – 48t + 17  , где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 9c.

Решение.

1. Найдем производную функции x(t) = 6t² – 48t + 17 :

 x'(t) = 12t - 48  

2. Найдем значение производной в точке t = 9:

 x'(9) = 12×9 - 48

 x'(9) = 60.

Ответ: 60 м/с.

Пример 2. Решим задание В8 (№ 122875). 

Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = - t⁴ +6t³ + 2t²+ 9t - 22 , где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 3с.

Решение.

1. Найдем производную функции x(t) = - t⁴ +6t³ + 2t²+ 9t - 22:

 x'(t) = -4t³ + 18t²+ 4t + 9

2. Найдем значение производной в точке t = 3:

 x'(3) = -4×3³ + 18×3²+ 4×3 + 9

 x'(3) = 75.

Ответ: 75 м/с.

Пример 3. Решим задание В8 (№ 119978)

Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = t² – 13t + 23 , где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 3 м/с?

Решение.

Найдем производную функции x(t) = 6t² – 48t + 17

 x'(t) = 2t - 13

По условию, скорость точки равна 3 м/с.

Получаем уравнение:

 x'(t) = 2t – 13= 3, 2t = 16

Отсюда  t = 8 с.

Ответ: 8

Пример 4. Аналогичное задание.  Задание В8 (№123871)

Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = t³ - 6t²- 8t + 4, где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 88 м/с?

Решение.

Найдем производную функции x(t) = t³ - 6t²- 8t + 4:

 x'(t) = 3t²- 12t - 8

По условию, скорость точки равна 88 м/с.

Получаем уравнение:

 x'(t) = 3t²- 12t – 8 =88

Решим его:

3t²- 12t – 8 =88

3t²- 12t – 96 =0, разделим обе части уравнения на 3,

t²- 4t – 32 =0

t₁ = 8,

t₂ = - 4 – не соответствует условию задачи: время не может быть отрицательным.

Ответ: 8

Потренируйтесь сами.

Задание B8 (№ 121761)

Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = t² + 7t - 3 , где x  — расстояние от точки отсчета в метрах, t  — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 10c.

Ответ: 27 м/с.

Задание B8 (№ 121763)

Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = t² + 2t - 14  , где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 6с.

Ответ: 14 м/с.

Задание B8 (№ 121765)

Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = t² + 6t + 16, где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 6с.

Ответ: 18 м/с.

Задание B8 (№ 121769)

Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = 0,25t² + 6t + 25, где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 10с.

Ответ: 11 м/с.

Задание B8 (№ 121771)

Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = t² + 4t - 3, где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 6с.

Ответ: 16 м/с.

Задание B8 (№ 122877)

Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = 0,5t⁴ +t³ + 6t²- 5t - 30 , где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 2c.

Ответ: 47 м/с.

Задание B8 (№ 122879)

Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = - t⁴ +9t²+ 4t - 7 , где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 2c.

Ответ: 8 м/с.

Задание B8 (№ 123879)

Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = t³ - 3t²- 7t - 3, где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 2 м/с?

Ответ: 3 м/с.