Касательная.

Геометрический смысл производной (продолжение).

 Касательная.

Рассмотрим дальше примеры из открытого банка заданий по математике ЕГЭ. Сайт mathege.ru.

1. Задание B8 (№ 6067)

Прямая у = - 5х + 14 параллельна касательной к графику функции у = х³ + 3х² - 2х + 15. Найдите абсциссу точки касания.

 Решение. Поскольку касательная параллельна прямой  у = - 5х + 14, значит её угловой коэффициент равен - 5. По геометрическому смыслу производной  k = f'(x₀). Таким образом, чтобы найти абсциссу точки касания, мы должны найти производную функции и приравнять её к - 5.

Находим производную: у' = (х³ + 3х² - 2х + 15)' = 3х² + 6х - 2.

Приравниваем к - 5, получаем 3х² + 6х - 2= - 5, 3х² + 6х + 3 = 0. Делим обе части уравнения на 3, получаем х² + 2х + 1 = 0. Это уравнение имеет один корень х = - 1. Таким образом мы нашли, что касательная к графику функции у = х³ + 3х² - 2х + 15, проведённая в точке х = - 1, будет параллельна прямой у = - 5х + 14.

Ответ - 1.

Аналогично решаются следующие задания, тренируйтесь.

Задание B8 (№ 6069)

Прямая у = 3х + 9 является касательной к графику функции у = х³ + 3х² + 6х + 8. Найдите абсциссу точки касания.

Ответ - 1.

Задание B8 (№ 6071)

Прямая  у = 3х - 8 является касательной к графику функции у = х³ - 3х² + 6х - 9 . Найдите абсциссу точки касания.

Ответ  1.

ВНИМАНИЕ!!! На задаче В8 легко потерять балл из-за невнимательности. Очень часто  график производной принимают за график функции и наоборот.

2.  Рассмотрим задачи, в которых функция задана графически, то есть изображён график заданной функции.

Задание B8 (№ 6421)

На рисунке изображен график функции у=f(x), определенной на интервале (- 5;5). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой у = 6.

Решение. Что означает «касательная параллельна прямой  у = 6»? Это означает, что касательная параллельна оси ОХ и её угловой коэффициент равен нулю. Из геометрического смысла производной следует, что в этих точках производная функции рана нулю. Это стационарные точки: точки локального максимума или минимума или точки перегиба. В данном случае таких точек 4 (две точки локального максимума и две точки локального минимума).

Ответ 4.

Аналогично решаются следующие задания, тренируйтесь.

Задание B8 (№ 7097)

На рисунке изображен график функции у=f(x), определенной на интервале(- 3;11) . Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой у =- 11.

Ответ 7.

Задание B8 (№ 7099)

На рисунке изображен график функции у=f(x), определенной на интервале(- 2;12) . Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой у = 7 .

Ответ 7.

3. В следующих примерах функция тоже задана графически, в заданной точке проведена касательная.

Задание B8 (№ 9053)

На рисунке изображены график функции у=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой х₀. Найдите значение производной функции f(x) в точке х₀ .

Решение. Обратим внимание на то, что кроме точки х₀ на касательной отмечены ещё две точки с целочисленными координатами. Обозначим их буквами А и С. Считая отрезок АС за гипотенузу, построим треугольник АВС с катетами, параллельными осям координат. Это необходимо для того, чтобы найти тангенс угла наклона касательной, т.е. тангенс угла САВ. Он равен отношению противолежащего катета ВС к прилежащему катету АС. Но катет ВС состоит из двух единичных отрезков, а АС из восьми. Таким образом тангенс угла САВ равен отношению 2 к 8, или 0,25. По геометрическому смыслу производной: значение производной функции f(x) в точке х₀ равно 0,25.

Ответ 0,25.

Вторая задача отличается тем, что линейная функция, графиком которой является касательная, убывает. Значит её угловой коэффициент отрицательный.

Задание B8 (№ 9051)

На рисунке изображены график функции у=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой х₀. Найдите значение производной функции f(x) в точке х₀ .

Решение. Также обратим внимание на то, что кроме точки х₀ на касательной отмечены ещё две точки с целочисленными координатами. Обозначим их буквами А и С. Считая отрезок АС за гипотенузу, построим треугольник АВС с катетами, параллельными осям координат. Это необходимо для того, чтобы найти тангенс угла наклона касательной, т.е. тангенс угла САВ. Он равен отношению противолежащего катета ВС к прилежащему катету АС. Но катет ВС состоит из двух единичных отрезков, а АС из восьми. Таким образом тангенс угла САВ равен отношению 2 к 8, или 0,25. По геометрическому смыслу производной: значение производной функции f(x) в точке х₀ равно - 0,25.

Ответ - 0,25.

Аналогично решаются следующие задания, тренируйтесь.

Задание B8 (№ 9055)

 

На рисунке изображены график функции у=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой х₀. Найдите значение производной функции f(x) в точке х₀ .

Задание B8 (№ 9057)

 

На рисунке изображены график функции у=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой х₀. Найдите значение производной функции f(x) в точке х₀ .

Задание B8 (№ 9059)

 

На рисунке изображены график функции у=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой х₀. Найдите значение производной функции f(x) в точке х₀ .

Задание B8 (№ 9061)

 

На рисунке изображены график функции у=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой х₀. Найдите значение производной функции f(x) в точке х₀ .

Задание B8 (№ 9063)

 

На рисунке изображены график функции у=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой х₀. Найдите значение производной функции f(x) в точке х₀ .