Конкурс 2013.

Конкурс 2013.

Итак мы быстрыми темпами приближаемся к Новому 2013 году. Что же из себя представляет число 2013 с математической точки зрения?

Это произведение трёх простых множителей

2013 = 3×11×61,

Сумма цифр, из которых состоит это число равна 6.

Возможны различные представления числа 2013 в виде суммы квадратов нескольких натуральных чисел:

2013 = 44² + 8² + 3² + 2²,

2013 = 43² + 12² + 4² + 2²,

2013 = 40² + 20² + 3² + 2²,

2013 = 38² + 20² + 13²,

А также возможны три представления числа 2013 в виде разности квадратов двух натуральных чисел:

2013 = 47² - 14²;

2013 = 97² - 86²;

2013 = 337² - 334²;

Преставления числа 2013 в других системах счисления:

2013₁₀ = 11111011101₂;

2013₁₀ = 2202120₃;

2013₁₀ = 133131₄;

2013₁₀ = 31023₅;

2013₁₀ = 3735₈;

2013₁₀ = 7DD₁₆;

Конкурсные задания:

1.     Придумайте ещё другие способы представления числа 2013 в виде суммы квадратов нескольких натуральных чисел.

2.     А существуют ли  способы представления числа 2013 в виде суммы кубов нескольких натуральных чисел? Найдите их, если они есть.

3.     Можно ли представить число 2013 в виде разности кубов нескольких натуральных чисел?

4.     Числа 2013₄, 2013₅, 2013₆, 2013₈, 2013₁₆ записаны в соответствующих системах счисления. Запишите их десятичной системе счисления.

5.     Существуют «треугольные числа», это 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78… Можно ли число 2013 представить в виде суммы или разности треугольных чисел?

6.     Может у вас возникла идея ещё других интересных способов представления числа 2013?

Дед Мороз оценит все ваши предложения и находки. Торопитесь. Ваши работы приносите в школу учителям математики или присылайте электронной почтой.