1. На доске
выписано число 181818…18 (всего 2014 цифр: 1007 единиц и 1007
восьмёрок). Незнайка вычеркнул из него 14 цифр. Может ли получиться так, что полученное
число будет кратно 7?
Решение. При решении важно заметить, что если в данном числе любую из цифр 8
заменить на 1, то делимость на 7 не меняется, так как разность между старым и
новым числом равна 7000…000 и кратна 7.
То есть, если число 111…11 (2000 единиц) делится на 7, то и полученное в результате вычеркивания цифр число также будет делиться на 7. Значит, осталось установить, делится ли число 111…11 (2000 единиц) на 7.
Выполняя деление столбиком можно заметить, что число 111111 делится на 7, а
числа из меньшего числа единиц не делятся. Но поскольку 2000 не кратно 6, то
полученное Незнайкой число не может оказаться кратным 7.
